Ableitung

Liegt ein solcher Verhältnismäßigkeitsfaktor vor, wird die Prüffunktion als unterscheidbar bezeichnet. äquivalent ist die Ableitung in einem Zeitpunkt als die Steilheit der Geradenfunktion bezeichnet, die unter allen Geradenfunktionen am besten örtlich der Veränderung der Funktion an dem betreffenden Zeitpunkt entspricht. Dementsprechend wird die Ableitung auch als Funktionslinearisierung bezeichnet.

Der Zusammenhang der Ableitung in den recherchierten Fakten ist oft die aktuelle Veränderungsrate. Somit ist z. B. die Ableitung der Orts- oder Entfernungszeitfunktion eines Partikels nach der Zeit seine Augenblicksgeschwindigkeit, und die Ableitung der Augenblicksgeschwindigkeit nach der Zeit stellt die Augenblicksbeschleunigung dar. Bei der Ökonomie wird oft von Grenzsätzen anstelle von Ableitung gesprochen (z.B. Grenzaufwendungen, marginale Produktivität eines Erzeugungsfaktors, etc.).

Differenzquotient, Differenzquotient, Differenzierung, kontinuierliche Differenzierbarkeit, Glättung, Teilableitung, Summenableitung, Reduzierung des Polynomgrades. Bei der geometrischen Formulierung ist die Ableitung eine generalisierte Steilheit. Der Ableitungsweg einer jeden Funktionalität an einem Zeitpunkt x0{\displaystyle x_{0}} ist als die Neigung der Berührungslinie an dem Zeitpunkt (x0;f(x0)){\displaystyle (x_{0};f(x_{0}))} des Diagramms von f{\displaystyle f} zu bezeichnen.

Die Ableitung einer funktionalen f{\displaystyle f} für jeden x{\displaystyle x} gibt in der arithmetischen Programmiersprache an, wie groß der geradlinige Teil der Veränderung von f(x){\displaystyle f(x)} ist (die erste Ordnungsänderung ), wenn x{\displaystyle x} sich um einen willkürlich kleinen Teil verändert ?x {\displaystyle \Delta x}. Die Fermat hat keine Grenzübertritte und schon gar keine Einleitungen in Betracht gezogen.

Das heute bekannte Ableitungsschema basiert hauptsächlich auf den Arbeiten von Leonhard Euler, der den Begriff der Funktion geprägt hat. Jahrhundert konnte Augustin-Louis Cauchy der Differenzialrechnung die heute gebräuchliche Logik verleihen, indem er von winzigen Mengen ausgeht und die Ableitung als Grenzwert für Sekantenteilungen (Differenzquotienten) definiert.

Ausgangsbasis für die Ableitung ist die Approximation der Tangentenneigung durch eine Sekantenneigung (manchmal auch Sehnenneigung genannt). Wir suchen nach der Neigung einer funktionalen f{\displaystyle f} in einem Point (x0?f(x0)){\displaystyle (x_{0}\mid f(x_{0}))}. Zuerst wird die Neigung der Sekans bei f{\displaystyle f} über ein endliches Zeitintervall hinweg berechnet: An diesem Grenzübertritt liegt folgende Bestimmung zugrunde: Die Sekans wechselt in die Berührungslinie und damit wechselt die Sekansteigung (Differenzquotient) in die Berührungslinie (Ableitung).... Notizen.

Diese Bezeichnungen werden als "f Strich von x Null", "d f von x bis d x an der Position x gleich x Null", "d f bis d x von x Null" bzw. "d bis d x von f von x Null" ausgesprochen. In dem später nachfolgenden Kapitel Bezeichnungen sind weitere Variationen aufgeführt, um die Ableitung einer Funktionalität zu vermerken.

Die Erhöhung der Funktionalität f{\displaystyle f}, wenn man sich nur wenig von x0{\displaystyle x_{{0}} wegbewegt, um den Betrag h{\displaystyle h}, kann sehr gut durch Lh{\displaystyle Lh} approximiert werden, die Linearfunktion g{\displaystyle g} mit g(x0+h)=f(x0)+Lh{\displaystyle g(x_{0}+h)=f(x_{0})+Lh} wird daher auch die Linearbeschleunigung von f{\displaystyle f} an der Position x0{\displaystyle x_{0}} genannt.

Wenn man eine funktionale Differenzierung als Differenzierung kennzeichnet, ohne sich auf eine gewisse Position zu berufen, dann ist dies die Unterscheidbarkeit an jeder Position des Definitionsbereichs, also die Vorhandensein einer einzigartigen Berührungslinie für jeden Punkt des Diagramms.

Alle differenzierbaren Funktionen sind kontinuierlich, aber die Stornierung entfällt. Zu Beginn des neunzehnten Jahrhundert waren die Menschen noch davon Ã?berzeugt, dass eine kontinuierliche Funktionalität allenfalls an einigen wenigen Orten nicht unterschieden werden kann (z.B. die Absolutwertfunktion). Bernhard Bozen war dann der erste Mathematiker, der eine konstante funktionelle Konstante konstruiert hat, die in der wissenschaftlichen Gemeinschaft nicht bekannt war; Karl Weierstraß entdeckte dann in den 1860er Jahren eine weitere solche funktionelle Konstante (siehe Weierstraß-Funktion), die dieses Mal unter Matheatikern Furore machte.

Bekannt ist ein multidimensionales Beispiel für eine kontinuierliche, nicht unterscheidbare Funktionalität die von Helmut von Koch 1904 präsentierte Koch-Kurve. Das Derivat der Funktionalität f{\displaystyle f} am Standort x0,{\displaystyle x_{0},}, benannt mit f?(x0){\displaystyle f'(x_{0})}, beschreibe örtlich das Funktionsverhalten in der Umwelt des betrachteten Standorts x0{\displaystyle x_{0}}. Jetzt wird x0{\displaystyle x_{0}} nicht der einzigste Ort sein, an dem f{\displaystyle f} unterschieden werden kann.

Daher kann man nun nach Möglichkeit die Ableitung an dieser Position (z.B. f?(x){\displaystyle f'(x)}) jeder Nummer x{\displaystyle x} aus dem Definitionsumfang von f{\displaystyle f} zuordnen. So erhalten Sie eine neue Funktionalität f?\displaystyle f'}, deren Definitionsgebiet die Mengen ?\displaystyle \Omega } von allen Orten ist, an denen f{\displaystyle f} unterschieden werden kann. Man nennt diese Funktionalität f? {\displaystyle f'} die abgeleitete Funktionalität oder kurz die Ableitung von f{\displaystyle f} und sagt: "f{\displaystyle f} ist auf ? unterscheidbar.

Zum Beispiel hat die quadratische Funktion f:x?x{\displaystyle f\colon x\mapsto x^{2}} die Ableitung f?(x0)=2x0,{\displaystyle f'(x_{0})=2x_{0} an beliebiger Position x0{\displaystyle x_{0}}},} so dass die quadratische Funktion auf dem Satz von Rechenkahlen differenziert werden kann. Der entsprechende Ableitungsmechanismus f?{\displaystyle f'} wird durch f?:x?x{\displaystyle f'\colon x\mapsto 2x} vorgegeben. Der Ableitungsmechanismus unterscheidet sich in der Regel von dem ursprünglichen, die Ausnahme sind die Multiplikatoren k?ex{\displaystyle k\cdot e^{x}} der exponentiellen Funktion.

Wenn das Derivat stabil ist, dann bedeutet f{\displaystyle f} stetige Differenzierbarkeit. Nach der Benennung C(?){\displaystyle C(\Omega )} für die Totalität (Raum) der kontinuierlichen Temperaturen mit einer Reihe von Definitionen ?{\displaystyle \Omega und } wird der Bereich der kontinuierlich unterscheidbaren Werte mit C1(?){\displaystyle C^{1}(\Omega )}kürzt. Die Berechnung der Ableitung einer funktionalen Größe wird als Differenzierung bezeichnet, d.h. man unterscheidet diese Funktionalität.

Zur Berechnung der Ableitung von Elementarfunktionen (z.B. xn{\displaystyle x^{n}}, sin(x){\displaystyle \sin(x)}, ...) wird die obige Begriffsbestimmung genau eingehalten, ein Differenzquotient ausdrücklich errechnet und dann ?x{\displaystyle \Delta x} auf Null gehen gelassen. In der Folge kannte er die Derivate der bedeutendsten Elementarfunktionen am besten kennen, suchte in einer Reihe von Tabellen (z.B. Bronstein-Semendjajew oder unsere Tafel der Ableitungs- und Wurzelfunktionen) nach Derivaten nicht ganz so gängiger Funktionalitäten und berechnete die Derivate von zusammengesetzten Funktionalitäten nach den Derivationsregeln.

f (x)=|x|{\displaystyle f(x)=|x|} ist ein der Stell 0 nicht an der Stell 0 nicht an der Stelle nicht differentzierbar: limx?f(x)-f(0)x-0=limx?x-0x-0=1{\displaystyle \lim _{x\searrow 0}{\frac {f(x)-f(0)}{x-0}} }=\lim _{\schèrche 0} {\fx-0}{frac {x-0} {x-0} Daher kann die Funktionalität f{\displaystyle f} an der betreffenden Position nicht unterschieden werden. An allen anderen Punkten ist die Unterscheidbarkeit der Funktionalität jedoch noch vorhanden. Wenn man sich die Grafik von f{\displaystyle f} ansieht, kommt man zu dem Schluss, dass das Konzept der Unterscheidbarkeit lebhaft besagt, dass die dazugehörige Grafik ohne Knicke abläuft.

Eine typische Beispiel für nirgendwo unterscheidbare kontinuierliche Funktion, deren Vorhandensein zunächst kaum denkbar scheint, sind nahezu alle Wege der braunen Bewegungen. Dies wird beispielsweise verwendet, um die Charts der Aktienkurse zu modellieren. kann jederzeit differenziert werden, einschließlich x=0{\displaystyle x=0}. Bei der Ableitung, die an Position 0 über den Differenzenquotienten ermittelt werden kann, ist die Ableitung an Position 0 nicht kontinuierlich.

Die Ableitung von zusammengesetzten Funktionalitäten, z.B. sin(2x){\displaystyle \sin(2x)} oder x2?exp(-x2){\displaystyle x^{2}\cdot \exp(-x^{2})}, kann auf die Differenzierung von elementaren Funktionalitäten mit Hilfe eines Ableitungsregels zurückgeführt werden (siehe auch: Tabellarischer Aufbau von Derivativen und Masterfunktionen). Sie können die Ableitung von zusammengesetzten Funktionalitäten mit den nachfolgenden Regelungen auf die Ableitung von einfacheren Funktionalitäten zurückverfolgen. Wenn es sich bei f{\displaystyle f}, g{\displaystyle g} und h{\displaystyle h} (im Definitionsbereich) um unterscheidbare reale Funktionalitäten, n{\displaystyle n} und a{\displaystyle a} reale Nummern handelt, dann trifft folgendes zu:

Ständige Funktionalität (a)?=0{\displaystyle \left(a\right)'=0} Faktorenregel (a?f)?=a?f?{\displaystyle (a\cdot f)'=a\cdot f'} Summarregel (g±h)?=g?±h?{\displaystyle \left(g\pm h\right)'=g'\pm 1}}}}} Die Kettenregel (g?h)?(x)=(g(h(x)))?=g?(h(x))?h?(x){\displaystyle (g\circ h)'(x)=(g(h(x))))'=g'(h(x))\cdot h'(x)} Umkehrregel ist f{\displaystyle f} eine abgrenzbare an der Position x0{\displaystyle x_{0}}, Bijektivfunktion mit f? (x0)f?{\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}, und seine inverse Funktionalität f-1{\displaystyle f^{-1}}} mit f(x0){\displaystyle f(x_{0})}, dann trifft es zu: Wenn Sie einen Moment P{\displaystyle P} des Diagramms von f{\displaystyle f} auf dem eins.

dann ist die Neigung von f-1{\displaystyle f^{-1}} in P? ist der reziproke Wert der Neigung von f{\displaystyle P^{*}} in P{\displaystyle P} ist: Logarithmisches Derivat Von der Regel der Kette aus wird für die Ableitung des logarithmischen Wertes einer funktionsfähigen f{\displaystyle f}} die Ableitung folgt: Ein Bruchteil der Formel f?/f{\displaystyle f'/f} wird als logarithmisches Derivat bezeichnet. Um f (x)=g(x)h(x){\displaystyle {\mathsf {}f(x)=g(x)^{h(x)}} ableiten zu können, wird daran gedacht, dass Kräfte mit realen Potenzialen durch die exponentielle Gesamtfunktion bestimmt werden:

Die Verwendung der Kettregel und - für die interne Ableitung - der Produktrichtlinie führt zu f?(x)=(h?(x)ln(g(x))+h(x)g?(x)g(x))g(x)h(x)h(x)h(x){\displaystyle f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){g'(x)\frac {g'(x)}{g(x)}}}}\right)g(x)^{h(x) Leibniz's rule The derivation n{\displaystyle n}-th order for a product of two n{\displaystyle n}- Aus ( (fg)(n)=?k=0n(nk)f(k)g(k)g(n-k){\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \f^{k)\f^{k)}g^{(n-k)} ergeben sich die in vielerlei Hinsicht zu unterscheidenden Zusatzfunktionen f{\displaystyle f} und g {\displaystyle g}. Formeln von Faà di Bruno Diese Formeln ermöglichen die abgeschlossene Repräsentation des n{\displaystyle n}-th Ableitung der Zusammensetzung von zwei n{\displaystyle n}-fach unterscheidbaren Funktion.

Es generalisiert die Chain Rule auf höherwertige Derivate. Es heißt: ständig unterscheidbar, und ihre Ableitung F?{\displaystyle F'} ist gleich f{\displaystyle f}. Wir suchen eine Funktionalität F{\displaystyle F}, deren Ableitung F?{\displaystyle F'} der Integrator f{\displaystyle f} ist. Wenn die Ableitung einer funktionalen f{\displaystyle f} wieder unterscheidbar ist, kann die zweite Ableitung von f{\displaystyle f} als eine Ableitung der ersten definiert werden.

Derivate können festgelegt werden. Dementsprechend kann eine Funktionalität leicht differenziert, doppelt differenziert usw. werden. Das zweite Derivat hat eine Vielzahl von physikalischen Einsatzmöglichkeiten. So ist beispielsweise die erste Ableitung der Stelle x(t){\displaystyle x(t)} nach der Zeit t{\displaystyle t} die momentane Geschwindigkeit, die zweite Ableitung ist die Geschwindigkeit. Die Rechtschreibung x?(t){\displaystyle {\dot {x}}}(t)}, d.h. x{\displaystyle x} point of t, kommt aus der Bauphysik, für Derivate jeder Art von Zeit.

Bei der Rede von der "Abnahme des Anstiegs der Arbeitslosenquote " spricht man von der zweiten Ableitung (Änderung des Anstiegs), um die Behauptung der ersten Ableitung (Anstieg der Arbeitslosenquote) zu verhältnismäßig machen. Mehrere Derivate können auf drei unterschiedliche Arten beschrieben werden: Bei der formalen Benennung von Derivaten f(n){\displaystyle f^{(n)}} definieren Sie auch f (1)=f?{\displaystyle f^{(1)}=f'} und f(0)=f{\displaystyle f^{(0)}=f}.

Historisch gesehen gibt es verschiedene Schreibweisen, um die Ableitung einer funktionalen Größe wiederzugeben. Im vorliegenden Beitrag wurde vor allem die Schreibweise f?{\displaystyle f'} für die Ableitung von f{\displaystyle f} benutzt. 3 Diese Schreibweise vermerkt die zweite Ableitung von f{\displaystyle f} mit f?{\displaystyle f''} und die n{\displaystyle n}th Ableitung mit f(n){\displaystyle f^{(n)}}.

Heute wird diese Rechtschreibung vor allem in der physikalischen, vor allem in der mechanischen, für die Ableitung nach und nach angewendet.

Die erste Ableitung des f{\displaystyle f} Für die zweite Ableitung leitet Gottfried Wilhelm Leibniz den Leibniz d2f(x)dx2{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{2}f(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}}}} und den n{\displaystyle n}- Das meiste Derivat wird mit dnf(x)dxn{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} ^{n}f(x)}{\mathrm {d} x^{n}}}}} vermerkt. _{x}f(x)} für die erste Ableitung von f{\displaystyle f} geht auf Leonhard Euler zurück.

Bei dieser Schreibweise ist die zweite Ableitung D2f{\displaystyle \mathrm {D}. und das n-artige n-te Ableitung von Dnf-artigem \Anzeigestil \mathrm {D}. Das Bild stellt die Diagramme von f{\displaystyle f}, f?{\displaystyle f'} und f?{\displaystyle f''} dar. Hat die Funktionalität f:(a,b)?R{\displaystyle f\colon (a,b)\to \mathbb {R} x0? (a,b){\displaystyle x_{0}\in (a,b)} sein größter Einzelwert, also für alle x{\displaystyle x} dieses Zeitintervalls f (x0)?f(x){\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)} auftritt, ist,

kann und wenn f{\displaystyle f} im Point x0{\displaystyle x_{0}} unterschieden werden kann, kann die Ableitung nur Null sein: Eine korrespondierende Anweisung trifft zu, wenn f{\displaystyle f} den geringsten der Werte im x0{\displaystyle x_{0}} übernimmt. Geometrisch interpretiert wird dieses Fermat-Theorem dadurch, dass das Diagramm der Funktionalität in örtlichen Extrem-Punkten eine Paralleltangente zur x{\displaystyle x}-Achse aufweist, auch horizontale Paralleltangente oder Horizontaltangente oder Horizontaltangente oder Horizontaltangente gleich.

Daher ist es eine wesentliche Voraussetzung für das Vorhandensein eines Extrempunktes für differenzierte Funktionalitäten, dass die Ableitung an der entsprechenden Position den Betrag 0 annimmt: Andererseits bedeutet die Tatsache, dass die Ableitung an einem Punkt den Betrag Null hat, nicht, dass es einen Extrempunkt gibt, z.B. könnte es auch einen Sattelstützpunkt geben.

In der Regel verwenden diese die zweite oder sogar die höheren Abstufungen. Mithilfe der Derivate können weitere Funktionseigenschaften wie z. B. Drehpunkte, Sattelstützpunkt, Konvexität oder die bereits oben genannte Eintönigkeit analysiert werden. Handelt es sich bei f{\displaystyle f} um eine (n+1{\displaystyle n+1}) - mal kontinuierlich unterscheidbare Funktionalität im Bereich I{\displaystyle I}, dann ist für alle a{\displaystyle a} und x{\displaystyle x} von I{\displaystyle I} die Repräsentation der so genannten Taylor-Formel maßgeblich:

Wie sich jedoch herausstellt, bedeutet die Tatsache, dass die Existenzen aller Derivate nicht bedeuten, dass f{\displaystyle f} durch die Taylor-Serie repräsentiert werden kann. Mit anderen Worten, jede Analysefunktion ist reibungslos, aber nicht umgekehrt, wie das Beispiel einer nichtanalytischen Smooth Function im Taylor-Serienartikel aufzeigt. Das bedeutet, dass die Funktionalität so oft wie notwendig differenziert werden kann, um den gegenwärtigen Denkprozess auszuführen.

Zuwachs, Veränderung oder Zwänge haben alle mit Derivaten zu tun, so dass ihre Formelbeschreibung Differenziale beinhalten muss. Normalerweise kommt es zu Formeln, in denen Derivate einer fremden Funktionalität vorkommen, also exakt Differenzgleichungen. {\displaystyle {\vec {a}}} eines Organismus mit seiner Massenmosphäre m{\displaystyle m} und der auf ihn wirkenden Energie F?{\displaystyle {\vec {F}}}}.

Aufgrund der Vieldimensionalität vieler Modellierungen sind die nachfolgend erläuterten Partialderivate oft sehr bedeutsam für die Erarbeitung von Partialdifferentialgleichungen. Hier bricht man sich von jeder Verbindung mit der Ursprungsbedeutung der Ableitung als Erhöhung ab. Zum Beispiel kann die Mengenfunktion nicht auf komplexe Weise unterschieden werden. Zugleich ist jede Funktionalität, die einmal in einer Umwelt unterschieden werden kann, automatisiert mehrfach unterscheidbar, so dass alle höherwertigen Derivate vorhanden sind.

Sämtliche vorangegangenen Erklärungen basierten auf einer funktionalen Darstellung in einer Variable (d.h. mit einer realen oder realen Ziffer als Argument). Zuordnungsfunktionen, die Vektor auf Vektor oder Vektor auf Nummer zuordnen, können auch eine Ableitung haben. Eine Verlängerung des vorhergehenden Ableitungstermins ist daher hier erforderlich. Zuerst schauen wir uns eine Funktionalität an, die von Rn?R{\displaystyle \mathbb {R} unterstützt wird.

Als Teilableitungen werden die direktionalen Derivate in Sonderrichtungen, d. h. die der Koordinatsachsen, bezeichnet. Zusammenfassend kann für eine Funktionalität in n{\displaystyle n} Variabeln eine Summe von n{\displaystyle n} Teilableitungen berechnet werden: Dabei können die individuellen Teilableitungen einer Funktionalität auch als Gradienten- oder Nab-Slave-Vektor zusammengefasst werden. Teilderivate können wieder differenziert und ihre Teilderivate in der sogenannten hessischen Matrix angeordnet werden.

Ähnlich wie beim monodimensionalen Beispiel sind die Kandidatinnen für die lokalen Extremitäten dort, wo die Ableitung Null ist, d.h. der Verlauf des Gradienten nachlässt. Auch die zweite Ableitung, die hessische Matrix, ermittelt in bestimmten Situationen den genauen Sachverhalt. Mit Hilfe einer Hauptachs-Transformation der Quadratform, die durch eine multidimensionale Taylor-Entwicklung an dem betrachteten Ort gegeben ist, können die einzelnen Fallbeispiele klassifiziert werden.

Es erfolgt die erste Ableitung dieser Funktionalität nach den Produktionsfaktoren: Weil die Teilderivate aufgrund der Einschränkung ?? (0,1){\displaystyle \alpha \in (0,1)} nur durch die Einschränkung zum Positiven werden können, sehen wir, dass die Ausgabe mit zunehmender Zunahme der entsprechenden Eingangsfaktoren zunimmt. Bei den Teilderivaten zweiter Ordnung heißt das: Sie werden für alle Eingaben negativer Natur sein, so dass die Wachstumsraten sinken.

Der Tangens wird somit durch die örtliche Geradlinigkeit der Funktionalität abstrakt dargestellt. Bei der ersten Ableitung von f{\displaystyle f} wird die Matrixrepräsentation als Jacobi-Matrix bezeichnet. Es gibt folgenden Zusammenhangs zwischen den Teilderivaten und dem Gesamtderivat: Wenn das Gesamtderivat in einem Zeitpunkt vorliegt, dann sind dort auch alle Teilderivate vorhanden. Die Teilderivate entsprechen in diesem Falle den Werten der Jacobi-Matrix.

Andererseits impliziert die Tatsache, dass partielle Derivate in einem Point X1 vorhanden sind, nicht unbedingt eine vollständige Unterscheidbarkeit, nicht einmal Kontinuität. Wenn jedoch die Teilableitungen in einer Umfeld von jpg auch konstant sind, dann kann die Funktionalität im jpg x0 auch vollständig differenziert werden. Theorem von Schwarz: Die Reihenfolge der Differenzierung ist für die Kalkulation von Teilderivaten höherer Ordnung irrelevant, wenn alle Teilderivate bis zu dieser Ordnung (einschließlich) kontinuierlich sind.

Menge der implicit Funktion: Funktionsgleichungen sind auflösbar, wenn die Jacobi-Matrix in Bezug auf bestimmte Größen örtlich umkehrbar ist. limh??f(?+h)-f(?)-L?h??h?=0{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\f(\xi +h)-f(\xi \xi |L_{{\xi \xi +h)-f(\xi |L_{\h\\\\|h\=0}}.