Die Mathematik

Übersetzung: Mathematik der alte Ägyptener und Babylonier[Bearbeitung | bearbeitet den Quellcode]

In der Mathematik geht die Historie bis in die Antike und die Anfänge der Zählung in der Neusteinzeit zurück. 1 Die Pyramidenkonstruktion im antiken Ägypten vor über 4500 Jahren mit ihren genau kalkulierten Ausprägungen ist ein deutlicher Hinweis auf die Existenz bereits weitreichender mathematischer Kenntnisse. Anders als die Mathematik der Ägypter, von denen aufgrund der sensiblen Papyrien nur wenige Bezugsquellen bestehen, gibt es in Mesopotamien etwa 400 Tontäfelchen der Babylonienmathematik.

Die mathematischen Beweise aus China sind viel aktueller, da durch Feuer zerstörte Unterlagen zerstört wurden, und die frühindische Mathematik ist bis heute ebenfalls schwierig. Die Mathematik wurde im alten Europa von den griechischen Bürgern als Naturwissenschaft im Sinne der Philosphie praktiziert. Von dieser Zeit an erfolgt die Ausrichtung auf die Aufgabe des "rein analytischen Beweises" und der erste axiomatische Zugang, d. h. die euklidische Geometrie.

Persianische und maurische Mathematikern nahmen das griechische und indianische Wissen auf, das von den Arabern vernachlässigt wurde, und gründeten Algorithmen. In Europa fand die Weiterentwicklung der heutigen Mathematik (höhere Mathematik, analytische Geometrie, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Analyse, etc.) seit der Wiedergeburt statt. Jahrhunderts eine "explosive" und internationalisierte Mathematik mit klarem Fokus auf die USA, die insbesondere nach dem Zweiten Weltkrieg aufgrund der weitreichenden technischen Entwicklungen Mathematikern aus aller Herren Länder mit großem Bedürfnis lockte.

Unter den wenigen erhalten gebliebenen Fundstücken, die uns Aufschluss über die Rechenfähigkeiten der Ägypten liefern, sind der Wildpapyren Rhind, der Wildpapyren Moskau und die so genannte "Lederrolle" die wichtigste. Meistens nutzten die Ägypter die Mathematik nur für Praxisaufgaben wie die Verdienstbestimmung, die Getreidemengenberechnung zum Backen von Brot oder die Flächenberechnung. Im Bereich Physik berechneten sie die Oberflächen von Triangeln, Vierecken und Transformatoren, (169)2{\displaystyle \!

Auch heute noch mangelt es an archäologischen Funden von Datensätzen mathematischer Beweise. Späte Periode (Hipparchos, Kenelaos, Reiher von Alexandria, Ptolemäus, Dioptrien von Alexandria, Pappos) von 200 v. Chr. bis 300 n. Chr. Nach einer Tradition, die aus der Altertumspraxis stammt, aber unter Naturwissenschaftlern umstritten ist, fängt die Mathematikgeschichte als Naturwissenschaft mit Pythagoras von Simos an.

In der Folge gründete er die pythagoräische Fakultät, die später Mathematikern wie Hippasos von Metapont und Archytas von Taranto die Ehre gab. Anders als die Babylonier und Ägypter hatten die Griechinnen ein philosophierendes Verständnis für Mathematik. Am Platon Academy in Athen war Mathematik sehr beliebt. Aus der griechischen Mathematik wurde dann eine beweiskräftige Sage.

Das Aristoteles hat die Grundzüge der propositionellen Logik formuliert. In seinem Fachbuch Elements hat Euklid einen großen Teil der damals üblichen Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammengefasst. Diese Arbeit wird als Paradebeispiel für mathematische Beweise angesehen: Aus wenigen Spezifikationen werden alle Resultate in einer Schwere abgeleitet, die es bisher nicht geben sollte. Anders als die alten Römer interessierten sich die Römer kaum für höhere Mathematik, sie interessierten sich mehr für praktische Anwendungsgebiete wie Vermessung und Ingenieurwesen.

Die Mathematik war bis in die späte Antike hinein größtenteils eine Domäne der griechisch sprechenden Reichsbewohner, wobei der Fokus der mathematischen Forschungen in der Römerzeit auf die sizilianischen und nordafrikanischen, insbesondere Alexandria, gerichtet war. Papos leistete neue BeitrÃ?ge zur geometrischen Form (auch mit ersten Ergebnissen zur Projektionsgeometrie ), Opollonios zu konischen Schnitten und Oophant zu einer getarnten Aluminiumalgebra und zur Nummerntheorie (Lösung integraler Gleichungen, spÃ?ter nach ihm auch als diophantische Problematik bezeichnet).

In Alexandria war der jüngste berühmte Mathematiker Hypatia, der 415 von einem Christenmob umgebracht wurde. Der erste verbliebene Lehrkörper der chinesischen Mathematik ist der Suanjinger Shoubi. Diese wird durch Liu Hui erweitert, da durch die Verbrennung von Büchern und Dokumenten während der Qin-Dynastie die meisten Mathematikaufzeichnungen vernichtet und wieder aus dem Speicher abgeschrieben wurden.

Das Ergebnis der Mathematik stammt aus dem achtzehnten Jahrtausend v. Chr.. Nahezu ebenso veraltet ist Jiu Zhang Suanshu ("Neun Kapiteln zur Mathematik "), der 246 Aufgabenstellungen in verschiedenen Bereichen beinhaltet; unter anderem ist darin auch das pythagoreische Theorem zu sehen, allerdings ohne jeden Beweis. Der Gipfel der chinesischen Mathematik ist im XIII. Jh. erreicht.

Die wichtigste Mathematikerin seiner Zeit war Zhu Shijie mit seinem Fachbuch Siyuan Yujian ("kostbarer Spiegelbild der vier Elemente"), das sich mit algebraischen Gleichungssystemen und algebraischen Gleichungen des 14. Jahrhunderts beschäftigte und diese durch eine Form der Horner-Methode auflöste. Danach hörte die Mathematik in China abrupt auf. Gegen 1600 nahmen die Japans das Wissen in der Wasan (japanische Mathematik) auf.

Ihre wichtigste Mathematikerin war Seki Takakazu (um 1700). Die Mathematik wurde als geheimes Tempelwissen praktiziert. In Spanien wurde im Laufe des XII. Jahrhunderts ein Werk des Persers Muhammad in Musa Chwarizmi ins Lateinische mitübersetzt. Weitere wichtige Mathematikspezialisten waren Brashmagupta (598-668) und Bhaskara II (1114-1185). Im Islam war die Landeshauptstadt Bagdad das Wissenschaftszentrum für Mathematik.

Der muslimische Mathematiker übernahm die indianische Position Arithmetik und Nebenhöhlen und entwickelte die Griechisch- und Indianische Triangulation weiter, ergänzte die grönländische Thematik und übersetzte und kommentierte die Mathematikarbeiten der Griechischsprachigen Länder. Das wichtigste rechnerische Ergebnis der Moslems ist die Rechtfertigung der aktuellen Algebra.

Heyday: um 1000 n. Chr.; al-Karaji verlängerte Algorithmen; der Perser Avicenna (Ibn Sina) unterstrich die Wichtigkeit der Mathematik; al-Biruni; In al-Haitham (Alhazen). Späte Periode: Der Perser Omar Chayy?m (um 1100) schrieb ein Fachbuch für Algorithmen; weitere bedeutende Mathematiker dieser Periode waren Nasir al-Din al-Tusi und al-Kaschi (um 1400).

Bei den Maya stammen die Angaben zur Mathematik und Sternenkunde (Kalenderberechnung) hauptsächlich aus dem Dresdener Codex. In der Mathematik der Maya war sie hoch entwickelt, ähnlich wie die fortgeschrittenen Zivilisationen des Orients. Mit dem Ende des Kaiserreichs fing das Hochmittelalter als eine Zeit der Europageschichte an und erstreckte sich bis in die Wiedergeburt. In dieser Zeit wurde die Entwicklung durch die Migration der Völker und den Anstieg des christlichen Glaubens in Westeuropa mitbestimmt.

Mit der Bekanntmachung der maurischen Tradition und Fortentwicklung der griechischen Mathematik, Physik und Physik sowie der maurischen Anpassung der indischen Mathematik und Rechnerei im Abendland auf dem Weg von der Übersetzung ins Römische fand eine bedeutende Erweiterung der westpäpstlichen Forschung statt. Der Kontakt zu maurischen Wissenschaftlern und ihren Werken resultierte zum einen aus den Kreuzzügen im Nahen Osten und zum anderen aus den Kontakten zu den Araberinnen und Araber in Spanien und Saci. Hinzu kommen vor allem Handelsbeziehungen zu den Italienern im mediterranen Raum, denen auch Leonardo da Pisa ("Fibonacci") einige seiner Mathematikkenntnisse zu verdanken hat.

Sein Einstieg in die Mathematik war die Basis für die Lehre dieses Themas bis zum Ende des 19. Jahrhunderts; auch seine Einweisung in die Lehre der Mathematik war von Bedeutung, wenn auch in geringem Ausmass. Die mathematischen Inhalte wurden nach der Klassifikation der sieben Geisteswissenschaften in den vier Fachbereichen des Vierecks unterrichtet: Folgende mathematischen Bücher sind bekannt: Übungen zur Bewusstseinsschärfung junger Menschen (um 800) (ehemals Alkuin von York), die Übungen aus den Annales-Stadien (Kloster Stade) (um 1180) und die Praktische des Archäologismus Ratsisbonensis (Kloster Emmeran-Regensburg) (um 1450).

Für die weitere Ausgestaltung der Mathematik im Hochmittelalter spielten die Berechnungen des Osterfestes, dem bedeutendsten Fest des Christentums, eine wichtige Funktion. Von diesen Mönchen wurde die exakte Datumsrechnung und die Entstehung des heutigen Zeitplans weiter entwickelt, die Basen übernahmen das mittelalterliche Leben von Dionysius Exiguus (ca. 470 bis ca. 540) und Beda dem Ehrenwerten (ca. 673-735).

Lange Zeit blieben Transkription, Annotation und Zusammenstellung des Lehrmaterials die alleinige Möglichkeit, sich mit den Inhalten der Mathematik zu befassen. Dieses Verfahren wurde ab dem XII. Jh. auf die Darstellung der alten Wissenschaften, vor allem des aristotelischen, angewandt. Jahrhunderts wurden die Universiäten von Paris und Oxford zum zentralen Ort der Forschungstätigkeit in Europa.

Bei Bacon wurde die Wichtigkeit der Mathematik als Schlüsselelement der Naturwissenschaften hervorgehoben; er beschäftigte sich vor allem mit der auf die Optiken angewandten geometrischen Form. Ein wichtiger methodischer Fortschritt in der Naturwissenschaft war die Qualifizierung von Eigenschaften als Schlüsselfunktionen für die quantitativen Beschreibungen von Prozessen. Auf dem Gebiet der Geometrischen Vermessung wurden im Laufe des ganzen Mittelsalters kontinuierliche Forschritte gemacht, vor allem im XI. Jh. die Geometrische Darstellung der Geodäsie, die auf ein Werk von Bäthius zurückgeht, im XII. Jh. die konventionellere Geometria practica von Hugo von St. Victor (1096-1141).

Levi-bens Gershon (1288-1344) beschrieb im XIII. Jh. ein neuartiges Messgerät, den sogenannten Jakobspersonal. Nach dem Aufkommen einer Ökonomie, die nicht auf dem Austausch von Waren, sondern auf dem Einsatz von Geldern beruht, ergaben sich neue Anwendungsbereiche für die Mathematik. Das trifft vor allem auf Italien zu, das damals ein Umschlagsplatz für Waren nach und von Europa war und dessen damalige Führungsrolle im Finanz- und Bankenbereich sich auch heute noch in der Wortwahl wie "Konto", "Brutto" und "Netto" widerspiegelt.

Besonders hervorzuheben ist in diesem Kontext Leonardo da Pisa, Fibonacci und sein liberaler Abtei, der nichts mit dem Abakus als Rechentafel zu tun hat, aber das Stichwort Abakus oder " abacco " als Sinnbild für Mathematik und Arithmetik nach einem zu diesem Zeitpunkt in Italien zu beobachtenden linguistischen Gebrauch anspricht. Im Fibonacci's Mathematik fand eine für das Hochmittelalter einzigartige Kombination aus Handelsarithmetik, klassischer griechisch-lateinischer Mathematik und neuen Verfahren der Arabischen und (arabisch-vermittelten) Indianer-Mathematik statt.

Mathematikisch weniger fordernd, aber mehr an den Bedürfnissen von Bankiers und Händlern orientiert, waren die vielen arithmetischen Bücher, die seit dem XVI. Jh. in der italienischen Landessprache als Fachbücher über praktische und kaufmännische Mathematik geschrieben wurden. Über Spanien, wo im Laufe der Reconquista die Moore aus Europa ausgewiesen wurden, kam die arabiatische Mathematik, und über Handelsverbindungen nach Europa und deren Mathematik beeinflussten später die Europäer wesentlich.

Renaissancekunst brachte die Entstehung von perspektivischer (u.a. Albrecht Dürer, Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti, Piero della Francesca) und deskriptiver geometrischer Hinsicht mit sich, und die damit verbundene projektorielle geometrische (Gérard Desargues) hat ihren Ausgangspunkt auch in der Architektur. Aus den Expeditionen ergaben sich Weiterentwicklungen in der Kartografie und Schifffahrt (das Problem der langen akuten Längengrade) und die Landesvermessung (Geodäsie) war für die Entstehung der Flächenstaaten wichtig.

Praxisanforderungen von Technikern (nicht zuletzt Militärs ) wie Simon Stevin (Dezimalbrüche) und astronomischen Forschern haben zu einer Verbesserung der Computertechnologie geführt, vor allem durch die Entwicklung der logarithmischen Strukturen (John Napier, Jost Bürgi). René Descartes hat in Frankreich entdeckt, dass Geometrien, die bisher nach Euklid unterrichtet wurden, auch in algebraischer Hinsicht beschrieben werden können und andererseits können mathematische Formeln nach EinfÃ??hrung eines Koordinaten-Systems geometrieinterpretiert (Analytische Geometrie) werden.

Der hauptberufliche Juror Pierre de Frermat hat bedeutende Ergebnisse zur Variationsrechnung und in der Quantitätstheorie (Lösung algebraischer Gleichungen in ganzen Zahlen, so genannte Diophantinprobleme ) geliefert, vor allem das "kleine Fermatistische Theorem" und das "große Fermatistische Theorem" formuliert. Seit 400 Jahren suchen Mediziner vergebens nach diesem vermeintlichen Nachweis, dessen Nachweis erst Jahrzehnte später (1995) mit unzugänglichen Fermat-Verfahren gelingt (siehe unten).

Cardano und Tariflia haben in Italien die mathematische Formulierung für die Lösung der Kubikgleichung gefunden und die Suche nach weiteren Formeln für höhere Formeln ist erst mit der Galois-Theorie im 192. Jh. zu Ende gegangen. Isaac Newton und Leibniz haben selbstständig eine der weitreichenden Erkenntnisse der Mathematik entwickelt, den Infinitesimal- und damit den Gedanken der Herleitung und der Verbindung von Differential- und Integral- kalkül über den fundamentalen Satz der Analyse.

Später hatten die beiden Mediziner und ihre Studenten einen langen Streit über die Prioritäten,[7][8], der sich auch zu einem Kontrast zwischen kontinentaleuropäischer die englische Mathematik verstärkte. Obwohl Leibniz, der ein vielseitiges, aber ziemlich philosophisches Interesse hatte, sich Newton nicht näherte, der persönlich sehr schwierig und umstritten in Bezug auf die mathematischen Fertigkeiten war (Leibniz war vorher in Übereinstimmung mit Newton gewesen, der es so sah, dass er ihm substantielle eigene Resultate gab, die Newton nicht publiziert, sondern unter ausgesuchten Mathematikanern verbreitet hatte), wurde er von kontinentaleuropäischen Mathematikerinnen und Mathema-nikern unterstützt, insbesondere von den talentierten Mathema-nikern der Bernerfamilie aus der Schweiz.

Zugleich schuf Isaac Newton mit seinem berühmt-berüchtigten Großwerk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica die Grundlage für die Theorie der Bewegungslehre und der Theorie der physikalischen Größen. Obwohl er die Analysesprache nicht benutzte, sondern seine Vorschläge im klassisch geprägten Geiststil formte, war seinen Altersgenossen bewusst, dass er sie mit der Analyse errungen hatte, und in dieser Formulierung wurden auch im achtzehnten Jahrhundert die Theorie der Physis und Mechanik entwickelt.

Es wurden die Verfahren der infinitesimalen Analysis weiterentwickelt, auch wenn die Ansprüche an die Rechengenauigkeit zu diesem Zeitpunkt noch sehr niedrig waren, was einige Denker wie George Berkeley heftig bemängeln. Ein produktivster mathematischer Mensch seiner Zeit war der Schwede Leonhard Ellers. Die heute verwendete "moderne" Symbolsprache geht zu einem großen Teil auf das Konto von Ehepaar A. S. A. S. E. A. E. A. E. S. A. A. A. S. A. A. A. A. S. A. A. A. A.

Zusätzlich zu seinen Beiträgen zur Analyse, war er der erste, der neben vielen anderen Neuerungen in der Schreibweise, das Zeichen i als Lösungsansatz für die Formel x2 = -1 einführte. Der Vorläufer der Komplexzahlen geht auf Cardano und andere Mathematikern der Renaissance zurück, aber diese Ausweitung des Zahlenbereichs brachte der Phantasie der meisten Mathematikern lange Zeit Probleme, und erst im neunzehnten Jahrhundert gelang ihnen der eigentliche Durchbruch in der Mathematik, nachdem eine spirituelle Auslegung als flächige Vektorisierung gefunden wurde (Caspar Wessel 1799, Jean-Robert Argand, Gauss).

Darüber hinaus entwickelte er eine Vielzahl von mathematischen Anwendungsmöglichkeiten in den Bereichen Hochenergie und Mechatronik. Darüber hinaus erwog er, wie ein Analysesitus aussieht, indem er die Positionsbeziehungen von Messobjekten ohne Einsatz einer Messgröße (Längen- und Winkelmessung) beschreibt. Eine weitere grundlegende Verbindung zwischen zwei fernen Bereichen der Mathematik, der Analyse und der Numerik, geht ebenfalls auf ihn zurück.

Als erster erkannte er den Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und den Primärzahlen, die Bernhard Riemann im neunzehnten Jh. zur Basis der Analysezahlentheorie machte. Die weiteren BeitrÃ?ge zur Analyse der Zeit und ihrer Umsetzung kamen von den Bernoulli (insbesondere Johann I Bernoulli, Daniel Bernoulli), Lagsche und Dürre, inbesondere der Erweiterung und Erweiterung des Variationsrechnungsbogens zur Lösung vieler Probleme der Ã-konomie.

Frankreich und Paris waren ein Entwicklungszentrum, wo nach der Französichen Republik und unter Napoleon die Mathematik in neuen Ingenieurschulen (insbesondere der Schule für Polytechnik) einen Boom erlebte. Mathematikern wie Jakob I. Bernoulli zu Beginn des 19. Jh., Abraham de Moivre, Laplace und Thomas Bayes in England erweiterte die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Lagerrange lieferte bedeutende BeitrÃ?ge zur Algorithmen (quadratische FormblÃ?tze, Gleichungstheorie) und Zahlen-Theorie, adrien-marie Legendre zur Analyse (elliptische Funktionsweisen et al.) und zur Numeriertheorie und gaspard Monge zur deskriptiven Geometrie. Jahrhunderts wurden die Fundamente mathematischer Konzepte in Frage gestellt und begründet. Er leitete auch die Funktionstheorie ein.

Es bestand eine starke Verbindung zwischen der Entstehung der physikalischen und mechanischen Wissenschaft und der der Analyse aus dem achtzehnten Jh., und viele Mathematikern waren zugleich auch Theoretiker, die zu diesem Zeitpunkt nicht getrennt waren. Als Beispiel für den Zusammenhangs ist die Erarbeitung der Fourier-Analyse durch Joseph Fourier ersichtlich. Ein zentrales Thema des neunzehnten Jahrhunderts war die Erforschung von Sonderfunktionen, insbesondere von elliptischen Funktionalitäten und deren Generalisierungen (Niels Henrik Abel und Carl Gustav Jacobi haben hier eine große Bedeutung ) und algebraischer Kurvengeometrie und Oberflächen mit funktionaltheoretischen Bezügen (u.a. Bernhard Riemann mit seiner Vorstellung der Riemann-Oberfläche, Alfred Clebsch, Felix Klein und der italienischen Elite-Oberflächenschule).

In den unterschiedlichsten Bereichen wurden eine Vielzahl von Einzelergebnissen gefunden, deren Reihenfolge und strikte Rechtfertigung jedoch oft erst im zwanzigsten Jh. begründet werden konnte. Wie schon im achtzehnten Jh. bleibt die Stereomechanik ein großes Betätigungsfeld für Mathematiker und eine wichtige Grundlage für die Entwicklung der Mathematik. Neue geometrische Formen wurden geschaffen, vor allem die projektiven Formen (Jean-Victor Poncelet, Jakob Steiner, Karl von Staudt) wurden intensiv entwickelt und Felix Klein bestellte diese und andere Formen mit dem Konzept der Transformatorengruppe (Erlanger-Programm).

Dieser Gedanke wurde in Form von Gruppierungen (z.B. Galois, Arthur Cayley, Camille Jordan, Ferdinand Georg Frobenius), Wrestling, Idealvorstellungen und Gremien (z.B. Galois, finite Gremien sind nach Galois Galois Gremien benannt) formell umgesetzt, dabei haben Algebraisten in Deutschland wie Richard Dedekind, Leopold KRONEKECKER eine immer bedeutendere Gestaltungsrolle übernommen. Sein theoretisches Konzept führte algorithmische Ansätze in die Analyse und angewandte Wissenschaft ein.

Moderne Quantentheorien basieren im Kern auf Symmetrien-Gruppen. Im Göttinger Institut arbeiteten zwei der bedeutendsten Mathematikern der Zeit, Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann. Zusätzlich zu den grundlegenden Kenntnissen in der Analyse, Nummerntheorie, Funktionstheorie, schuf sie und andere Differentialgeometrien mit dem Konzept der Biegung und der umfangreichen Generalisierung in größere Abmessungen durch Riemann (Riemann-Geometrie).

Nicht-uklidische geometrische Darstellungen verdeutlichten die Grenzen des seit Jahrhunderten erlernten und von Nicolai Ivanovich Lobatschewski und János Bolyai gegründeten Axiomensystems (deren Entstehung auch Gauss bekannt war, über das er aber nichts veröffentlichte). Mit seinen Disquisitionen Arsenal Arithmetikae, Gauss legten die Grundlage für die algebraische Zahlentheorie und bewiesen, die grundlegende Theorem der Algorithmen.

Vor allem Karl Weierstraß gründete in Berlin eine mustergültige Fakultät der strikten Grundlagen der Analyse und der Funktionstheorie auf Leistungsreihen, während Riemann die Theorie der geometrischen Funktionen gründete und damit die Bedeutung der Thematik hervorhob. Als eine der ersten Studentinnen spielte die Studentin von Weierstraß Sofja Wassiljewna Kowalewskaja eine herausragende Stellung in der Mathematik und war die erste Mathematikprofessorin.

Ende des neunzehnten Jahrhundert übernahm Henri Poincaré eine Führungsrolle in der Mathematik, unter anderem durch bedeutende Forschritte in der neuronalen Thematik und der qualitativ hochwertigen Differenzgleichungstheorie, die ihn später zu einem Wegbereiter der Chaostheorie wurden. Mit Richard Dedekind in Realzahlen, Giuseppe Peano in Naturzahlen und David Hilbert in geometrischer Form wurden die neuen erhöhten Anforderungen an die Stringenz von Nachweisen und Versuchen zur Axialisierung von Teilbereichen der Mathematik dargestellt.

Gleichzeitig markierte seine Arbeit den Beginn der grundlegenden Krise in der Mathematik. In Frankreich war nach der französischen Revolte ein großer Boom in der Mathematik zu verzeichnen, Deutschland folgte zu Beginn des 19. Jh. mit der dominanten Forscherpersönlichkeit von Gauss, die jedoch keine eigene Waldorfschule gründete und wie Newton die Gewohnheit hatte, nicht einmal substantielle neue Erkenntnisse zu publizieren.

In Königsberg wurde zunächst das dt. Forschungsseminarwesen an den Hochschulen gegründet und war dann ein wichtiger Teil des Unterrichts in den Mathematikzentren in Göttingen und Berlin und hatte dann auch Auswirkungen, zum Beispiel in den USA, für die Deutschland in der Mathematik einflussreich war. In Italien nahm die Mathematik nach der Selbständigkeit des Staates einen großen Boom, vor allem in der neuronalen Mathematik (italienische Francesco Severi, Guido Castelnuovo und Federigo Enriques) und den Fundamenten der Mathematik (Peano).

In Großbritannien lag der Schwerpunkt auf der Theorie, aber die mathematische Schule tendierte immer wieder dazu, spezielle Wege zu gehen, die sie vom kontinentalen Europa trennten, wie z.B. die hartnäckige Befolgung des Analysestils von Newton im achtzehnten Jahrhundert auf der einen Seite und die Hervorhebung der Bedeutung von Quartiernionen am Ende des achtzehnten Jahrhunderts zum anderen. Felix Klein, der zuletzt in Göttingen neben Hilbert arbeitete und ein gutes Netzwerk hatte, nahm gegen Ende des vergangenen Jahrhunderts in Deutschland in vielerlei Hinsicht eine Spitzenposition ein und veranstaltete ein Lexikonprojekt zur Mathematik und ihren Anwendungsmöglichkeiten, das auch französiche Mathematikern umfasste.

Der Sieg im französisch-preußischen Kriege von 1870/71 war für viele Franzosen, wie auch in anderen Bereichen, ein Anreiz, zum angehenden Kaiserreich aufzuschließen, was zu einem neuen Aufschwung der französichen Mathematik beitrug. Mit dem Ersten Weltkrieg kam es auch in der Mathematik zu einem Beziehungsbruch. Im zwanzigsten Jahrhundert kam es zu einer nie da gewesenen Erweiterung der Mathematik in ihrer ganzen Bandbreite und Intensität, die die vorangegangenen Jahrzehnte überschattete.

Der Anteil der Mathematikschüler und -nutzer hat ebenso wie der Anteil der Ursprungsländer und der weiblichen Bevölkerung deutlich zugenommen. Durch den großen technischen Fortschritt im zwanzigsten Jh. und vor allem durch die zunehmende digitale Nutzung wurde die Mathematik zu einer Schlüsseldisziplin. Die moderne Mathematik beschäftigte sich mit der Notwendigkeit, die Fundamente dieser Naturwissenschaft ein für allemal zu konsolidieren.

Dies hat die ganze Mathematik erschüttert. Russel und Alfred North Whitehead haben in ihrer mehrtausend-seitigen Arbeit Principia Mathematica versucht, mit Unterstützung der Kategorientheorie eine Grundlage zu schaffen. Letzteres hat sich durchgesetzt, weil seine wenigen axiomatischen Ansätze viel besser beherrschbar sind als die komplizierte Repräsentation von Principia Mathematica. Allerdings blieben die Bedenken bezüglich der Fundamentaldaten bestehen. der Fundamentaldaten.

Der in Göttingen eine renommierte Fachhochschule gegründet hatte und die verschiedensten mathematischen Fachgebiete (von der Mathematik, der Algorithmen-Theorie, der Funktionsanalyse mit Beiträgen zu den physikalischen Erkenntnissen bis hin zu den Fundamenten der Mathematik) grundlegend verändert hatte, sich aber im Grunde einem Fachgebiet in individuellen Schaffenszeiträumen verschrieben und früherer Forschungsfelder gänzlich aufgegeben hatte, drehte sich in seiner Schaffensabschlußphase zu den Grundzügen der Mathematik und der Verabschiedung von Rechennachweisen.

Für Hilbert und seine formale Lehre war der Beweis nur eine Abfolge von Herleitungen aus Axiomen, eine Abfolge von Zeichen, und nach einem bekannten Hilbert-Zitat, das sich auf die axiomatische Darstellung der Geometrie bezieht, waren nur die axiomatischen und Regeln der Herleitung von Bedeutung, wenn Punkt, Gerade und Fläche in der Formelsatzsprache zu irgendeinem Zeitpunkt durch Tisch, Stuhl und Bierkrug ersetzt werden können.

Mathematikern und Logikern wie Gerhard Gentzen gelang es, die Konsistenz von Teilbereichen der Mathematik nachzuweisen (jeweils mit der Rückgriffnahme auf über diese Teilbereiche hinausgehende Prinzipien). Ein weiterer Weg, der zu Beginn des Jahrzehnts mit der Intuition des Brouwer begann, der früher auch einer der Gründer der gesetztheoretischen Theorien war, verfolgte den Versuch, eine auf finiten Stufen basierende Konstruktivmathematik zu etablieren, bei der jedoch auf wesentliche mathematische Aussagen verzichtet werden musste.

Zusätzlich zur Mathematik wurden immer mehr andere Gebiete der Mathematik abgelenkt und auf axiomatischen Fundamenten platziert, in denen David Hilbert und seine Schüler eine wichtige Funktion hatten. Französischsprachige Mediziner wie Henri Lebesgue (Lebesgue-Integral), Jacques Hadamard und Emile Borel (Maßtheorie), die Hilbert-Schule in Göttingen und die Polnischschule unter ihrer Führungspersönlichkeit Stefan Banach waren Schwerpunkte der Funktionalanalyse, d.h. der Erforschung von endlos dimensionalen Funktionsräumen.

Auch in der topologischen und mathematischen Grundsatzforschung war die Polnischschule der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen federführend, und auch die russische Mathematik konzentrierte sich zunächst auf die Funktionsanalyse (Lusin School, Andrei Kolmogorov) und die Thematik ("Topologie") (darunter Pavel Sergejewitsch Alexandrov, Lev Pontryagin). Der Mathematik wurde durch die Erforschung neuartiger physischer Thesen Vorschub geleistet, vor allem der Quantummechanik (mit Verbindungen vor allem zur Funktionsanalyse) und der relativistischen Theorie, die die Tensorik und Differenzialgeometrie förderten.

Dieser profitiert seinerseits von der Weiterentwicklung der spektralen Theorie der Linearoperatoren (lineare Algorithmen in unzähligen Dimensionen). Dies gab diesem Bereich eine gesicherte Basis, auch wenn die Streitigkeiten über Auslegungsfragen anhielten (siehe auch Historie der Wahrscheinlichkeitsberechnung). Ein wichtiger Bestandteil der "nützlichen Mathematik" war die Erforschung verschiedener Statistikmethoden (Ronald Adolf Fischer, Karl Pearson, Abraham Wald, Kolmogorow und andere) mit breit gefächerten Anwendungsmöglichkeiten in den Experimentalwissenschaften, der Humanmedizin, aber auch in den Sozial- und Geisteswissenschaften, den Marktforschungsbereichen und der Weltpolitik.

Am Ende der Hauptrolle der Hilbert-Schule stand der Nazionalsozialismus, der sich auch in der Mathematik unter den Repräsentanten der dt. Mathematik manifestierte, und die Ausweisung eines großen Teils der juedischen Wissenschafter von ihren Hochschulposten. In den USA und anderen Ländern haben viele von ihnen Unterschlupf gefunden und die Weiterentwicklung der Mathematik befruchtet. Während des Zweiten Weltkriegs bestand ein großer Handlungsbedarf bei der Bewältigung von konkreten mathematischen Problemen für den militärischen Bereich, z.B. bei der Entstehung der Atombombe, des Radargerätes oder der Decodierung von Codes.

Die Informatik hat ihren Weg in die Mathematik gefunden. Daraus resultierte eine dramatische Entwicklung der Numerik. Mithilfe von Computern können heute verhältnismäßig rasch komplizierte und nicht von Menschenhand lösbare Problemstellungen gerechnet werden, und numerische Experimente machten viele neue Erscheinungen erschwinglich (Experimentalmathematik). Die Zusammenfassung und Institutionalisierung erreichte einen vorläufigen Abschluss in der Arbeit des Autorkollektivs Nicolas Bourbaki, zu dem bedeutende mathematische Persönlichkeiten in Frankreich (und darüber hinaus) wie André Weil, Jean-Pierre Serre, Henri Cartan und Claude Chevalley zählenden wurden. Diese Meetings fanden Ende der 1930er Jahre statt.

Nach dem Untergang der Hilbert School und der Ausweisung vieler Mathematikern durch die Nazis nach dem Zweiten Weltkrieg, von der vor allem die USA profitiert haben, nahmen sie eine führende Rolle in der Strukturkonzeption der Mathematik ein und wollten zunächst den streng analyseorientierten Lehrplan in Frankreich in bewusstem Bezug zur Algebraischen Hochschule Göttingen überbrücken, hatten aber bald weit darüber hinausreichende Auswirkungen (mit der Neuen Mathematik im Schulunterricht der 1960er und 1970er Jahre).

Wichtig in der zweiten Jahreshälfte des zwanzigsten Jahrhundert war die fundamentale Revolution der mathematischen Lehre, vor allem durch die Arbeit von Alexander Grothendieck und seiner Hochschule, sowie die weite Verbreitung der neuronalen Thematik und - zum Teil begleitet von ihr - die Weiterentwicklung der Kategorielehre. Dies war eine weitere Zunahme der Abstraktion nach der Entstehung der Abstraktion in der ersten Jahreshälfte des zwanzigsten Jahrhundert, vor allem in der Emmy Noether-Schule, und brachte neue Denkansätze und -weisen, die in großen Bereichen der Mathematik zum Tragen kamen.

Zusätzlich zu den Neigungen zur abstrakten Darstellung gab es in der Mathematik jedoch immer die Neigung, sich mit konkreten Objekten im Detail zu beschäftigen. Diese Forschungen eigneten sich auch besonders gut, um die Bedeutung der Mathematik der Allgemeinheit näher zu bringen (z.B. Frauen ab den 80er Jahren und Chaos-Theorie, die Katastrophen-Theorie der 70er Jahre). Viele, zum Teil jahrhundertelange Fragen wurden im Laufe des zwanzigsten Jahrhunderts geklärt, wie z.B. das Vierfarbmalproblem, die Kepler-Vermutung (beide mit Hilfe von Computern), der Klassifikationstheorem endlicher Gruppierungen, die Mordell-Vermutung (Gerd Faltings), die Poincaré-Vermutung nach Grigori Perelman im Jahr 2002 und schlussendlich der Fermat-Satz von Andrew Wiles im Jahr 1995.

Die Behauptung von Fermat, dass der Umfang einer Bucheinlage zu eng für den Nachweis sei, wurde bestätigt: "Wiles' Nachweis ist über 100 S. lang, und er benötigte Werkzeuge, die weit über das Niveau der damaligen Mathematikkenntnisse von Fermat hinausgehen. Manche Problemstellungen wurden als grundsätzlich unbehebbar anerkannt (wie die Kontinuummessung von Paul Cohen), viele neue Problemstellungen wurden hinzugefügt (wie die abc-Vermutung) und die Riemannsche Hypothese ist eines der wenigen scheinbar in ferner Zukunft liegenden Problems der Hilbert-Liste, trotz der großen Bemühungen vieler Mathematik.

Ein Verzeichnis der zentralen ungelösten mathematischen Problemstellungen ist diejenige der Millenniumsprobleme. Bis zum Ende des Jahrtausends gab es wieder eine intensive Interaktion von Mathematik und Physik über Quartfeldtheorien und Stringtheorien mit erstaunlichen und tief sitzenden Zusammenhängen in unterschiedlichen mathematischen Gebieten (unendliche dreidimensionale Lie-Algebren, Supersymetrie, Doppelsinnigkeiten mit Zählanwendungen in der algorithmischen Geometrie, Knoten-Theorie, etc.).

Früher hatte die Teilchenphysik von der Mathematik vor allem durch die Klassifizierung der Continuous Symmetry Groups, der Lie-Gruppen, ihrer Lie-Algebren und ihrer Repräsentationen (Elie Cartan, Wilhelm Killing im neunzehnten Jahrhundert) und der Lie-Gruppen als zentralem, verbindendem Fachgebiet der Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts mit vielen Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik bis zur Numeriktheorie gewinnbringend gewirkt (Langlands-Programm).

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