Differenzieren

Unterscheidung

Unterscheiden 1 - Mathematischer Hintergrund Der Differential- (oder Differential-) Zahnstein ist eine der großen Leistungen der modernen mathematischen Wissenschaft. Die grafische Darstellung einer funktionalen Darstellung erfolgt durch das Auftragen der eventuellen x-Werte auf der Horizontalachse und des entsprechenden Funktionswertes f(x) auf der Vertikalachse für jeden x-Wert. Der Satz aller so in der Zeichnungsebene erzeugten Stützpunkte ist das Graphen der Funktionen - im Allgemeinen ist es eine Linie, die die Funktionseigenschaften wiedergibt.

Wenn die Höhenkoordinate durch das Zeichen y gekennzeichnet ist, ist die Grafik der Satz aller Stützpunkte (x, y), für die y = f(x) zutrifft. Beispiel: Die durch f(x) = x2 festgelegte Funktionalität (manchmal auch in der Gestalt f: x x2) weist jeder Nummer ihr eigenes Feld zu.

Sein Diagramm ist eine nach oben geöffnete Paradiesparabel, deren Scheitelpunkt am Nullpunkt ist. Die Neigung einer Gerade in einem xy-Koordinatensystem ist der Faktor für die Katheterlängen eines Neigungsdreiecks (?y/?x). Die Erhöhung einer mit der Referenz "15%" markierten Strasse ist 0,15 (wobei die y-Achse als senkrecht zu betrachten ist).

Wenn eine Gerade durch die Formel y = kx + d vorgegeben ist, d.h. es ist das Diagramm der Linearfunktion f(x) = kx + d, dann ist ihr Steigen der Konstante k. Denn es wäre vorteilhaft, wenn Sie bereits von Begrenzungsprozessen und dem Konzept des Begrenzungswertes gesprochen hätten.

Man weiß, was der Aufstieg einer Gerade ist - ist es sinnvoll, vom Aufstieg einer Linie zu sprich? Ist es also sinnvoll, über die Ausrichtung und den Verlauf einer Krümmung in einem bestimmten Bereich zu reden? Ja, das ist sinnvoll, sofern die Kennlinie eine Berührungslinie im jeweiligen Messpunkt hat (d.h. sie macht dort keine Kurve).

Danach nennen wir die Kurvensinnigkeit die Tangensrichtung und den Kurvenanstieg den Tangensanstieg. Wir wollen dies auf die Diagramme einer Funkt. Seien Sie eine (reale) Funktionalität. Das Ableitungsergebnis von w an dem Zeitpunkt x ist die Erhöhung der Berührungsfläche zu den Diagrammen von w an dem Zeitpunkt (x, f(x)).

Er ist mit dem Zeichen f' (x) (ausgesprochen als "f-Linie von x" oder "f-Linie an Position x") gekennzeichnet. Anmerkung: Natürlich wird davon ausgegangen, dass die Grafik von f im Mittelpunkt (x, f(x)) überhaupt eine Berührungslinie aufweist. Daher sollte diese Einigung zunächst nicht als eine genaue Bestimmung des Konzepts der Herleitung verstanden werden, sondern als die grundlegende Idee, von der wir ausgeht.

Wir wissen also im Grunde genommen, was die Herleitung ist. Stell dir vor, dass eine function f angegeben wird, ihr grafisches Erscheinungsbild erstellt wird und wir die abgeleitete Größe an einer bestimmten Position am Ende der Position x0 ermitteln sollten. Um aber die angestrebte Herleitung etwa aus dem grafischen Darstellungsdiagramm ablesen zu können, platzieren wir - so exakt wie möglich - die Tangierung durch den Mittelpunkt (x0, f(x0)) und messen ihre Steigung mit einem Steigungsdreieck.

Daraus ergibt sich dann der Quotenwert y/?x, d.h. 3/5 oder 0,6. Eine weitere mögliche Variante wäre, ein Gradientendreieck zu ziehen, für das x = 1 ist, was bedeutet, dass der Gradient unmittelbar als ?y gelesen wird. Über das linke Applett können Sie diesen Zusammenhangs zwischen Herleitung und tangentialer Erhöhung interaktiv durchspielen und den richtigen Gebrauch der neuen Begriffe einüben.

Dieser Ableitungsgedanke hat weit reichende Folgen und mündet auf informellem Wege in weitere Konzepte, die der Charakterisierung von Funktionalitäten aufzeigen. Vor allem die Herleitung einer function fà selbst ist wieder eine Funktion: Sie weist jedem x an der Position x die Herleitung von fà zu und ist mit dem Zeichen fà ' gekennzeichnet.

Der Wert ihrer Funktionalität an der Position x ist f'(x), entsprechend der oben beschriebenen Beschreibungsform. Natürlich hat f' auch ein Diagramm als funktionale Komponente. Dabei gibt es wesentliche Beziehungen zwischen den Merkmalen einer funktionalen Eigenschaft und den Merkmalen ihrer Abspaltung. Du wirst auf Bezeichnungen wie Hoch-, Tief-, Maximal-, Minimal-, Extrem- und Drehpunkt sowie einen Bezug zum monotonen Verhalten einer funktionalen Einheit treffen, denen wir alle im Verlauf dieses Abschnitts begegnet sein werden.

Ein besonders nützliches Beispiel für die Herleitung stammt aus der Physik: Wenn s(t) der Platz ist, an dem sich ein Body zum Zeitpunkt t befindet, kann seine Verschiebung durch die Grafik der function s s(t) (die sogenannte Weltlinie) grafisch repräsentiert werden. Wenn es sich um eine gleichmäßige Fortbewegung handele, sei die Weltstrecke eine Gerade und ihr Aufstieg sei die Fortbewegung (?s/?t, d.h. die zurückgelegte Strecke durch die erforderliche Zeit).

Der Aufstieg der Berührungslinie zur Feldlinie an dem Ort (t0, s(t0)), d.h. die Abkömmlinge s'(t0), wird die momentane Geschwindigkeit des Organismus zum Zeitpunkt t0 genannt. Weil die Herleitung einer funktionellen Einheit wieder eine funktionelle Einheit ist, können wir auch eine größere Anzahl von Einheiten berücksichtigen: Das Derivat des Derivats von f wird als zweite Derivate bezeichet und ist durch das Zeichen f'' gekennzeichnet. f''(x) ist die Erhöhung der Berührungsfläche zu den Diagrammen von f ' an der Stelle (x, f '(x)).

Ebenso kann die dritte Derivate f als'''', etc. erachtet werden. Das n-te Derivat wird ebenfalls als f (n) bezeichnet. Sie wird Ihnen später sehr hilfreich sein, wenn Sie in der Situation sind, Funktions- und Ableitungsgrafiken zu erfassen und zu verknüpfen. Aus allen involvierten Funktionalitäten sind nur die Diagramme angegeben - Sie müssen nicht mehr über sie wissen.

Wir wollen nun ausrechnen, was wir im vorherigen Kapitel als Konzept entwickelt haben: die Erhöhung der Berührungsfläche zu einem Funktionsdiagramm. Zu diesem Zweck gehen wir zunächst generell davon aus, dass eine reale Funktionalität f und eine Ziffer x0 angegeben sind, und die Aufgabenstellung ist es, die Steigung der Berührungsfläche zu den Diagrammen an dem Zeitpunkt (x0, f(x0)) zu bestimmen.

Step 1: Zuerst wird die Steigung einer Secante berechnet, d.h. eine Gerade, die das Diagramm von f an zwei Stellen kreuzt, zum einen an dem angegebenen Ort (x0, f(x0)) und zum anderen an einem benachbarten Ort (x0 + ?, f(x0 + ?)), wodurch der Wertermittler von ? zunächst nicht spezifiziert wird.

Das heißt, wir gehen von x0 ein Teil von ? nach rechts oder links zu (!) und errechnen die Steigung der Gerade durch die beiden Stellen des Diagramms, die wir P und Q in der nachfolgenden Zeichnung nennen: can be written. Weil Zählers und Nenners nichts anderes sind als die Koordinatenunterschiede der beiden Messpunkte P und Q, wird diese Menge als Differenzquotient bezeichnet.

Dabei berücksichtigen wir die Funktionalität f(x) = x2 und ermitteln die Herleitung an der Position x0 = 1. ?= 1 + 1.

Die Kalkulation ist nicht immer so simpel wie im Beispiel (3), aber im Folgenden werden wir einige Werkzeuge kennenlernen, die die Differenzierung erheblich vereinfachen. Anmerkungen zur Ableitungsdefinition: Der bedeutendste Aspekt der Formulierung (2) ist der Grenzübertritt ? 0. Wir haben ihn bisher so gekennzeichnet, dass "? sich allmählich in Richtung 0 bewegt".

Weil ? nichts anderes ist als die Abweichung der x-Koordinaten von P und Q, korrespondieren diese Optionen mit den unterschiedlichen Methoden, mit denen der Knoten Q der oben genannten Skizze auf den Knoten P gebracht werden kann: Wenn ? > 0, dann ist Q auf der rechten Seite von P. Wenn ? < 0, dann ist Q auf der linken Seite von P. Für jede der vielen möglichen Varianten, ? Schritt für Schritt nach 0 voranzutreiben, bekommen wir eine Reihe von Differenzquotienten.

Wenn in all diesen FÃ?llen immer der gleiche Schwellenwert entsteht, nennt man ihn die Abkömmung f'(x0), und man nennt die Funktionsweise f " differentiell an x0 ". Übrigens erhält der tangentiale Ausdruck zu einem Funktionsdiagramm (sofern er nicht zur Vertikalachse verläuft ) durch diese Spezifikation auch eine exakte Bedeutung: Es ist die gerade Linie mit einer Erhöhung f'(x0) durch den Mittelpunkt (x0, f(x0)).

Das Beispiel einer nicht an einer beliebigen Position zu unterscheidenden Funktionalität (die Mengenfunktion) kann über die zweite benachbarte Schaltfläche aufgerufen werden. Wenn sich eine Funktionalität f an allen Punkten eines (offenen) Zeitintervalls unterscheiden lässt, ist sie in diesem Zeitintervall konstant. Handelt es sich bei der Herleitung auch um eine kontinuierliche Funktionalität, so wird sie als "kontinuierlich differenzierbar" bezeichnet.

Allerdings können exemplarisch solche konstruiert werden, bei denen die Herleitung einer differenzierten Funktionalität diskontinuierlich ist. Für das zweite Kapitel über die Differenzierung werden weitere Erwägungen zur Unterscheidbarkeit einer Funktionalität und zum Anschluss an die Kontinuität gespeichert. Das heißt, die Herleitung der Funktionalität x x2 ist die Funktionalität x ? x2.

Wenn wir x = 3 einstellen, ist das oben bereits erreichte Ergebnis f'(3) = 1. Weiter ist f'(0) = 0, was bedeutet, dass die Berührungslinie zu den Diagrammen am Punkt x = 0 die Steigung 0 hat, d.h. die X-Achse parallelgeschaltet ist.

Im Bereich x > 0 (x < 0) ist der Anstiegswert im positiven (negativen) Bereich. Je höher die Menge von x, desto höher ist die Steigung der Berührungsfläche. Werfen Sie einen Blick auf die Grafik von f (z.B. mit dem Funktionsplotter) und lassen Sie sich von diesen Merkmalen einfangen! Das heißt, die Herleitung der Funktionalität x x3 ist die Funktionalität x 3x2. Die Herleitung ist nie negativer Natur.

Aufgrund von f'(0) = 0 ist die Berührungslinie zu den Diagrammen an der Position x = 0 zur x-Achse parallelgeschaltet. Schauen Sie sich die Grafik von f (z.B. mit dem Funktionsplotter) an, um sich von diesen Merkmalen zu vergewissern! Bsp. 3: Nehmen wir nun ein Beispiel, das so simpel ist, dass es tatsächlich nichts zu berechnen gibt: die Konstantenfunktion f(x) = c, bei der c eine bestimmte und feste Anzahl ist.

Der Differenzquotient erlischt in diesem Falle, da f(x + ?) - f(x) = c - c = 0 für alle x und ? gültig ist. Da er nicht von ? abhängig ist, wird die Bildung des Grenzwertes ? 0 weggelassen, und wir bekommen f '(x) = 0 (für alle x).

Das heißt, die Herleitung der Konstantfunktion x c ist die Konstantfunktion x ? 0. ("Die Herleitung einer Konstantfunktion ist Null"). Dieses Ergebnis können wir auch in geometrischer Hinsicht nachvollziehen, da die Grafik der Konstantenfunktion eine gerade Linie ist, die zur x-Achse verläuft (d.h. mit Steigung 0). Das Diagramm, der Schnitt und die Tangenten entsprechen in diesem Falle.

Das letzte Beispiel ist eine generelle Linearfunktion (Funktion erster Ordnung), die durch einen Begriff der Formel f(x) = kx + d bestimmt ist, bei der k und d angegeben sind und feste Nummern. Hier wird der Differenzquotient durch k angegeben (siehe Berechnung!), so dass er nicht von ? abhängt (wie im vorherigen Beispiel), wo f'(x) = k errechnet wird.

Das heißt, die Herleitung der Linearfunktion x kx + d ist die Konstantfunktion x ? k. Das Diagramm unserer Linearfunktion ist eine Gerade mit einer Erhöhung k, weshalb die Grafik, der Schnitt und die Tangentenübereinstimmung stimmen. Weil nicht jede Größe mit dem Zeichen x gekennzeichnet ist, wird sie beim Erzeugen der Derivate mit dem Zeichen "nach" markiert.

Du sagst einfach: f'(x) ist die Abkömmling von f(x) zu x. Das Ableiten einer funktionalen Größe nach r (oder das Differenzieren nach r) bedeutet, die Herleitung einer funktionalen Größe nach r zu erstellen. Zum Beispiel können Sie ganz simpel behaupten, dass die Abspaltung von u3 zu u gleich 3u2 ist. Die Differenzquotienten bezogen auf die Ziffern x und x + ? (Erhöhung der Sekante) werden teilweise in der folgenden Formel angegeben: y/?x oder f/?x, worin ?x = ? und ?y ? ?f = f(x + ?) - f(x).

An der Grenzübergangsstelle sekante tangential x und frz. frz. frz. frz. frz. frz. tangent x und frz. frz. frz. frz. frz. frz. f/?x werden nach diesem Übergangszeitraum zum bedeutungslosen Begriff 0/0. Bei der geschichtlichen Weiterentwicklung der Differenzialrechnung stellte man sich zunächst vor, dass x und f "unendlich klein" werden würden, aber in einer Art und Weise, die es noch zulässt, dass ihre Quoten gebildet werden.

Die " endlos kleinen " Mengen wurden unter den Namen dax und df (oder dy) (sie wurden "infinitesimal" oder "Differenziale" genannt) zusammengefasst, und die Derivate wurden als Quotient der Werte df/dx oder dy/dx geschrieben. Man kann sich unter den Unterschieden die Katheterlängen eines so kleinen Gradientendreiecks so gut vorzustellen, dass die Differenz zwischen Schnitt und Tangens keine Rolle spielt: s. die rechte Abbildung. df ist die Veränderung des Funktionswertes, wenn sich das Attribut, d.h. der Messwert der eigenständigen Variable, ab der Position x um das Vielfache verändert.

Das Gradientendreieck ist kleiner, desto weniger weicht der Quotient df/dx von der Derivate ab - aber um einen genauen Begriff für letztere zu erhalten, stellte man sich vor, es sei ein "unendlich kleines" Gradientendreieck. Heutzutage - dank des heutigen Konzepts der Grenzwerte - sind wir in der mathematischen Formulierung dieser Sachverhalte in der Situation, dass die Herleitung bis heute als Differenzquotient bezeichnet wird und auch die Rechtschreibung in gewisser Weise erhalten geblieben ist.

Nehmen wir als Beispiel die Funktionalität f(x) = x2 und benennen Sie die Koordinate in der Dimension, in der Ihr Diagramm mit x und y liegt. Für die Herleitung werden dann - neben (6) und (8) - folgende Rechtschreibweisen (zurückgehend auf Gottfried Wilhelm von Leibniz) verwendet: dxx2= 2x .

Ebenso steht d/du für die Herleitung einer funktionalen Einheit, deren Term-Darstellung mehrere Zeichen beinhaltet, z.B. wenn a für eine feste Anzahl (Konstante) steht: d(a3u2)/du = 2a3u in der Folge (die sich aus den nachfolgend zu behandelnden Herleitungsschemata ergibt). Bei höheren Derivaten wird auch die Notation der Notation di2y/dx2 (ausgesprochen: "d-two-y-to-dx-square") oder d2f( "x)/dx2" oder als Anforderung zur Bildung der zweiten Derivate, d2/dx2 ( "d-two-to-dx-square") und d2f ("d-two-to-dx-square") oder d2f( ) oder d2f() verwendet.

Gelegentlich finden wir die Symbolschrift (d/dx)2 für letztere als Einladung zur doppelten Differenzierung. Zur Darstellung der Herleitung an einer gewissen Position, z.B. 0, ist die Notation f'(0) am vorteilhaftesten. Die vertikale Linie | hat die Bezeichnung "an der Stelle" und wird so ausgesprochen). Das zweite Derivat wird dann durch zwei Messpunkte identifiziert (ausgesprochen "s-two-point").

Wegen der hohen Wichtigkeit des Konzepts der Herleitung in der heutigen mathematischen, aber auch in anderen Bereichen wie der physikalischen, sind Gesetzmäßigkeiten erwünscht, die es ermöglichen, Funktionalitäten ohne großen Aufwand und ohne großen Zeitaufwand zu unterscheiden. Dabei ist c eine vorbestimmte Anzahl (d.h. eine Konstante), die Gesamtzahl x f(x) + g(x), das Füllgut x f(x)g(x), der Quotient x f(x)/g(x) und schliesslich die umgekehrte Funktionalität zu fÃ, die wir in der Formel fà ? x( f) schreiben.

Bei all diesen Funktionalitäten lassen sich die Derivate auf die von f und g zurueckführen, was die Differenzierung verhältnismaessig einfach macht (was, wie wir im Folgenden zeigen werden, auch von einem Computerprogramm gemacht werden kann):

Dabei haben wir davon ausgegangen, dass uns die Derivate (x2)' = 2x bereits bekannt sind, vgl. Summenfunktion: ( f(x) + g(x)))' = f'(x) + g'(x)(11) Mit anderen Worten: die Derivate einer Summenfunktion ist die Summenfunktion der Derivate. Im Sprachgebrauch der gehobenen Moral bringen sie die Erkenntnis zum Ausdruck, dass das Formen der Derivate eine "lineare Operation" ist.

Das Derivat einer Differenzen ist die Differenzen der Derivate: ( f(x) - g(x)) ' = f '(x) - g'(x). In der ersten Summand wird nur f unterschieden, in der zweiten nur g. ((2x + 3) (x2 + 4))' = 2(x2 + 4) + (2x + 3) 2x, was durch Multiplikation weiter reduziert werden kann.

Dabei sind die grünen Begriffe die Faktor der jeweiligen Funktionalität, die blauen Begriffe sind deren Derivate. Dieses Ergebnis ist natürlich nur im Definitionsraum der Differenzfunktion gültig, d.h. für alle x -1/2. Beispiel 2: Als Sonderfall von (13) für f(x) = 1, lautet die Vorgabe ' = - g'(x)/g(x)2 Ergebnisse für die Herleitung des Kehrwertes einer Fehlfunktion.

Der erste Faktor, uf'(g(x)), wird durch das Bilden der Funktionableitung fà geformt (wenn Sie wollen, können Sie uf in der Formel uf' schreiben: g f(g) und die abgeleitete uf' bestimmen: g f'(g)) und dann den Expression g(x) anstelle der Variabl.

Diesen Effekt kann man auch (etwas schlampig) als Derivat von f nach f einstufen. Gelegentlich wird es auch als externe Herleitung oder externe Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Herleitung oder Ähnliches oder Ähnliches. Die zweite, g'(x), die Abkömmlinge von gr bis x, wird auch als inneres Derivat bezeichet, das in einer Weise geschrieben ist, die seine Gliederung noch klarer betont.

Wenn f nur von x über y abhängt, ist die Abspaltung von f nach x gleich dem Ergebnis der Abspaltung von f nach f (wobei es sich bei der Verwendung von f um eine Variablen handelt) und die Abspaltung von der Abspaltung von der Abspaltung von f nach der von x. werden beschrieben. u'(x) = 2(5x2 + 3x) (10x + 3).

Herleitung der Inversfunktion (Inversfunktion): write, s. (9) für die Notation. Bitte beachtet, dass das Zeichen f für die Inversfunktion die eigenständige Größe anzeigt! Daher sind die Differenzverhältnisse der beiden Größen der Differenzquotienten dif /dx und dx/df die reziproken Werte zueinander. Natürlich wirkt diese Struktur nur an den Orten, an denen die Herleitung von f vorhanden ist und ist nicht gleich 0.

Die Grafik der invers en zu w ergibt sich aus der von w durch Reflexion am ersten Median (d.h. bei der Grafik der gleichen Funktionalität x ? x). Man unterscheidet die Grundfunktion f(x) = x1/2. Ihr Umkehrschluss ist durch x( w ) = 2 vorgegeben. Uns ist die Herleitung der Inversfunktion bereits bekannt: dx/df = x'( w ) = 2x.

Seien Sie nicht verwirrt durch die Tatsache, dass die eigenständige Variablen, durch die Sie jetzt unterscheiden, den Namen f ! trägt. Die Herleitung der Root-Funktion ist daher nach (15) df /dx = f'(x) = 1/(2f ) = 1/(2x1/2), wodurch wir im letzen Step f = x1/2 wieder eingestellt haben. Dank dieser sechs Herleitungsregeln können auch kompliziert formulierte Funktionalitäten verhältnismäßig leicht unterschieden werden, sofern die Derivate der "Bausteine", aus denen sie sich zusammensetzen, bekannt sind.

Zur Unterscheidung der Funktionalität x x4 haben wir vier Varianten, bei denen wir bereits die oben genannten Derivate (x2)' = 2x und (x3)' = 3x2 errechnet haben und daher davon ausgehen können, dass sie bekannt sind: Im folgenden Kapitel werden wir die Herleitungen von Machtfunktionen diskutieren, aber als Übung wird empfohlen, dass Sie alle vier Verfahren berechnen und sicherstellen, dass sie zum selben Resultat anführen.

Ein sehr nützliches Verfahren zur Berechnung von Derivaten, die sogenannte stillschweigende Differenzierung, muss in ein weiteres Unterkapitel verschoben werden, da wir die notwendige "partielle Ableitung" noch nicht haben. In Verbindung mit den oben beschriebenen Herleitungsregeln stellt dieser Teil die Werkzeuge zur Verfügung, um die wesentlichen mathematischen Funktionalitäten zu unterscheiden.

Zu den besonders reizvollen Ergebnissen der Differentialrechnung gehört, dass die Derivate aller Leistungsfunktionen durch eine gemeinsame Formeln dargestellt werden können: Zum Beispiel ist die Root-Funktion x x1/2 für alle x 0 von ? x 0 und deren Derivat x (1/2) x-1/2 nur für x > 0 Definition.

Bei Position 0 ist die Herleitung von x1/2 natürlich nicht festgelegt (weil der Begriff x-1/2 auf den bedeutungslosen Expression 1/0 für x = 0 zurückgeführt wird). Die Ursache dafür ist im Diagramm der Root-Funktion zu sehen: An diesem Punkt weist sie eine ("vertikale") Tangent parallel zur y-Achse auf, und dafür kann eindeutig kein (endlicher) Zuwachs angegeben werden.

Die exponentielle Funktion mit der Base ist mit ihrer Derivation identisch: Dies zeugt auch von der hervorragenden Position der Nummer e: Selbst wenn man sich entscheidet, sie nicht zu berücksichtigen, tritt der normale logarithmische (d.h. der logarithmische zur Base e) in dieser Gleichung ganz von selbst auf!

Eine weitere Aussage über die Sinnhaftigkeit der Euler' schen Ziffer e resultiert aus der Herleitung des naturbelassenen Logarithmus: Da die logarithmische Funktionalität für Negativargumente nicht festgelegt ist, wird stattdessen gelegentlich die Funktionalität x ? ln |x| berücksichtigt. Es ist für alle x 0 von ? festgelegt, und seine Derivate sind auch 1/x.

Durch die in diesem Kapitel vorgestellten Derivate und die oben erläuterten Herleitungsregeln sollten Sie in der Regel in derstande sein, die meisten unter Begriff definierten Funktionalitäten zu unterscheiden, vor allem willkürliche Polynom- und Rationalfunktionen. Bsp. 2: Frage: Nach welchen Richtlinien wurde dieses Derivat berechnet? Im zweiten Kapitel über die Differenzierung werden wir auf einige weitere Funktionalitäten eingehen, die unter dem Gesichtspunkt der Differenzierung eine stärkere Pflege benötigen.

Besteht die Herleitung einer funktionellen f in jedem Zeitpunkt eines Zeitintervalls und ist die Herleitung von f in jedem Zeitpunkt eines Zeitintervalls vorhanden und erfolgt durch ein positives (negatives) Ergebnis, so ist f in diesem Zeitintervall strikt monoton steigend (fallend). Das macht Sinn, denn die Berührungspunkte zu den Diagrammen steigen (fallen) an jeder Stelle, und hier wird auf formale Beweise verzichtet.

Wenn die Herleitung innerhalb eines Zeitintervalls für x < < y0 und für x > y0 jeweils ein positiver Wert ist und wenn f'(x0) = 0, ist y0 die örtliche Maximalposition. Die entsprechenden Punkte (x0, f(x0) auf der Grafik werden als Höhepunkt bezeichnet. Wenn die Herleitung innerhalb eines Bereichs für x < × y0 und für x > y0 jeweils eine negative und für f'(x0) = 0 ist, ist y0 die örtliche Minimalposition.

In der Grafik wird der korrespondierende Wert (x0, f(x0) als Tiefstwert bezeichnet. Das Diagramm weist an den korrespondierenden Stellen eine waagerechte Berührungslinie (Steigung 0) auf. Die Ergänzung "lokal" verweist darauf, dass der Funktionswert für die betrachtete Position höher (kleiner) ist als für alle (ausreichend nahe) benachbarten Positionen. Deshalb kann eine Funktionalität mehrere örtliche Extrempunkte haben (mit denselben oder verschiedenen Funktionswerten).

Die Höhen- und Tiefenpunkte sind, im übertragenen Sinne, örtliche Gipfel und die Täler der Grafik. Anmerkung: Wenn eine Funktionalität nicht für alle Realzahlen festgelegt ist, können auch an den Rändern ihres Definitionsbereiches örtliche Extreme vorkommen. Hier muss die Herleitung jedoch nicht 0 sein. Zum Beispiel wird die in der rechten Grafik dargestellte Funktionalität im (blau markierten) geschlossenen Intervall[a, b] festgelegt.

Anschließend hat es sowohl ein örtliches Maximalwert am rechten Rand a und ein örtliches Minimalwert am rechten Rand b als auch ein örtliches Minimalwert an der Position c innerhalb des Zeitintervalls. In den Grenzpunkten sind die Derivate nicht 0, da die Tangente an den Diagrammen dort nicht horizonta.

Daher sollten Sie bei der Suche nach den örtlichen Extremen einer bestimmten Funktionalität immer die Möglich-keit in Betracht ziehen, dass sich einige am Rand des Definitionsbereiches aufhalten. Zum Beispiel erlischt bei x0 = Null die Herleitung der Funktionalität x x3. Schauen Sie sich Ihre Grafik an (z.B. mit dem Funktionsplotter)!

Ein solcher Ort wird als Sattellage ( "Sattellage") oder "Sattellage" oder "Sattellage" bezeichnet. Die Formel f'(x0) = 0 kann aufgelöst werden. In diesem Zusammenhang werden wir dieses Themengebiet im Abschnitt über die Anwendung der Differentialrechnung weiterführen. Wenn die abgeleitete Funktion f' selbst eine abgeleitete Funktion hat (die zweite abgeleitete Funktion f''), dann wird ein lokaler Extrempunkt von f' als Drehpunkt von f genannt, der korrespondierende Knoten in der Grafik von f wird als Drehpunkt bezeichnet. Der Drehpunkt wird als Drehpunkt von f definiert.

Bei einem Drehpunkt der Wendepunkt ist f''(x0) = Null, an diesem Punkt hat die Abkömmling f' ein örtliches Maximalwert (Minimum), d.h. an den Stellen x in der Nähe von y0 ist f '(x) kleiner (größer) als f '(x0). Figürlich ausgedrückt: An einem Drehpunkt ist die Grafik "steilste" oder "am geringsten steilste".

Seinen Namen verdankt er der Tatsache, dass sich die Berührungspunkte von einer der beiden Seiten der Grafik zur anderen "drehen". Der Tangens im Drehpunkt wird daher auch als Dreh-Tangens bezeichnet. Kandidat für Drehpunkte einer bestimmten Funktionalität f sind die Lösungsansätze der Formel f''(x0) = 0 (d.h. die Ziffern x0, auf die f ''(x0) = 0 zutrifft).

Wenn ein solches X1 eigentlich ein Drehpunkt ist, dann ist f '(x0) die Steigung der Tangente. Kurz gesagt: Wenn x zu x wechselt, wechselt f zu ?x, wechselt f zu ca. f'(x0) ?x. Als Differenzquotient (1) kann die durchschnittliche Veränderungsrate im Intervall[x0, y0 + ?] herangezogen werden.

Die Veränderungsrate an einem Punkt ist in diesem Sinne der Schwellenwert der durchschnittlichen Veränderungsrate für eine nach 0 strebende Zwischengröße. Bei einer linearen Funktionalität f (deren Grafik eine gerade Linie ist) ist das gleiche Vorzeichen in (28) gültig. Damit wird das Konzept der Herleitung ein weiteres Mal beleuchtet: Es geht von der Vorstellung aus, eine bestimmte Funktionalität an einem Punkt durch eine geradlinige Funktionalität (deren Grafik eine Gerade ist) optimal zu annähern.

Der Änderungsgrad einer funktionalen Einheit ist als der Änderungsgrad dieser "bestmöglichen" linearer Einheit festgelegt (oder, geometrisch übersetzt: der Erhöhung der Berührungspunkte zu den Graphen). Dabei berücksichtigen wir die Funktionalität f(x) = x2- x. Bei der Position x0 = 3 hat sie den Skalenwert für f (3) = 1, Aufgabe: Verwenden Sie (28), um f (3. 001) ungefähr zu errechnen!

Es wird die Abkömmling f'(x) = 2x - 1, also f'(3) = 1 berechnet. Nun wechselt das Attribut von drei auf drei. 001, d.h. um x = 0,001. Mit (28) erfolgt die entsprechende Veränderung des Funktionswertes auf f' f zu ?f ?, hieraus folgt: f' f' (3. 001) 6 + f' 0. 001 = 6,005. Ein Kommentar noch zur Bezeichnungsrate.

Das Beschleunigen (die zweite Ableitung der Position nach der Zeit) ist die (zeitliche) Geschwindigkeitsänderungsrate der Drehzahl. Zur Unterscheidung einer termdefinierten Funktionalität müssen nur die Derivate ihrer Komponenten bekannt sein. um die Berührungspunkte zu einem Funktionsdiagramm zu setzen, um die Diagramme von f (x), f '(x) und f ''(x) zu zeichnen. Unter Differenzierungslehrer und Bewertung von Derivaten wird die Verwendung der Ableitungsregeln für von Ihnen eingegebene Funktionalitäten schrittweise durchlaufen.

Trotz dieser Hilfsmittel sollten Sie die manuelle Unterscheidung ein wenig trainieren, damit Sie wissen, was diese Systeme leisten. Auf der Grundlage der Differenzialrechnung basieren eine Vielzahl von Verfahren der heutigen mathematischen Forschung (und die meisten Anwendungsbereiche, insbesondere die Physik). Ein den Anwendungsbereichen der Differenzrechnung gewidmetes Kapital konzentriert sich auf Verfahren zur Funktionsanalyse ("Kurvendiskussion"), zum Finden von Extrempunkten ("Extremwertaufgaben") und zum Lösen gleichgerichteter Aufgaben.

Mithilfe der Differenzrechnung ist es möglich, Funktionalitäten als "Leistungsreihe" zu nähern. In dem zweiten Kapitel über Differenzierung werden wir die Theoriekonzepte der Unterscheidbarkeit von Aufgaben und Ableitungen erarbeiten und weiter entwickeln. Ebenso können Funktionalitäten in mehreren Größen unterschieden werden. Berechnung der Herleitung der Funktion f (x, y) = x2- y2 bis x (d.h. y als konstant behandeln)!

Sie haben nun eine Teilableitung errechnet. Existiert eine Funkton f, deren Derivat gleich ihrem Rechteck ist, d.h. für die f'(x) = f (x)2 ausreicht? Wer es schafft, eine zu entdecken (mit einem kleinen Versuch und Irrtum ist es nicht so schwer), hat eine Differenzialgleichung aufgesetzt. Darüber hinaus ist die Differenzrechnung die Basis für andere Bereiche der mathematischen Forschung, vor allem für die integrale Berechnung, die in einem gewissen Sinne eine "Fortsetzung" ist.

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