Extremwertaufgaben

Extremsportaufgaben

Bei welchen Abmessungen hat ein rechteckiges Objekt mit festem Durchmesser die grösste Sichtfläche? Allen diesen Fragestellungen ist eines gemeinsam: Sie sind auf der Suche nach dem besten, d.h. optimalem Funktionswert. Jeder reale Funktionsumfang, der auf ein absolviertes Zeitintervall I[ a; b] begrenzt ist, geht dort von seinem absoluten Maximal- oder Minimalwert aus.

Extreme können auch an den Grenzpunkten auftauchen. Folgendes gilt: Die Lösung von Extremwertaufgaben lässt sich in fünf Einzelschritte unterteilen: Verwenden Sie dazu die entsprechenden Varianten. Zunächst formulieren wir eine Grundvoraussetzung für die zu minimierende oder zu maximierende Menge. Wenn es immer noch Einschränkungen gibt, versuchen Sie, die Formel so neu zu formulieren, dass nur noch eine Variabel übrig ist.

Schreibe eine Formel für das Unerforschte. Wer kann, sollte das Fremde als Abhängigkeit von einer einzelnen abhängigen Variable oder als zwei Formeln mit zwei Unwägbarkeiten aufschreiben. Aufgaben mit extremen Werten bestehen in der Regel aus zwei Teilen. Derivate und Extrempunkte ermitteln. Schließlich müssen wir die Funktionsweise herleiten und die Extrempunkte festlegen, wie wir es sonst tun würden.

Mit ihm will sie eine möglichst große Grundfläche eingrenzen. Die Frage ist, mit welchen Bemaßungen ein Viereck den größtmöglichen Bereich hat. Es ist bekannt, dass die Oberfläche eines Vierecks mit der Formellänge l multipliziert mit der Weite b errechnet wird. Mehr brauchen wir nicht, um die Maximalfläche zu ermitteln. Der Bereich A = l?-?b ist zu optimieren.

Aber da es sich um eine Funktionalität mit zwei Variabeln handelt, müssen wir sie so beschreiben, dass eine der beiden Variabeln weggelassen wird. Man kann entweder zu l oder zu b lösen, weil man in beiden FÃ?llen eine Formel mit nur einer Variable bekommt. Jetzt haben wir nur noch eine einzige Funktionalität mit einer einzelnen Grafik.

Weil wir wissen wollen, für welchen x-Wert die Oberfläche zum Maximalwert wird, müssen wir die Funktionalität herleiten und das Maximalwert ermitteln. Mit der zweiten Herleitung müssen wir noch prüfen, ob die Position ein Minimal- oder ein Maximalwert ist. Weil die Konstantfunktion -2 die zweite Abkömmung ist und für alle Ausprägungen von b positiv ist, ist dies eigentlich ein Höhepunkt.

So wird die Größe maximiert, wenn eine rechteckige Grundfläche eingezäunt ist. Dies lässt sich geografisch dadurch erklären, dass ein Viereck immer die grösste Grundfläche mit dem gleichen Durchmesser umschliesst. Wird eine möglichst große Grundfläche eines Kubus benötigt, hat der Kubus das größtmögliche Rauminhalt zu Oberflächenverhältnis aller Kuboide.

Wie groß das Fassungsvermögen eines Zylinder ist, das wir hier haben, hängt von den Größen r (Radius des Zylinders) und h (Höhe des Zylinders) ab. Es gibt zwei Gleichungen mit zwei Größen. Aber wir brauchen eine Formel mit einer Grafik. Daher löst man die Volumengleichung nach einer Größe und fügt sie dann in die andere ein:

Zur Suche nach Extrempunkten brauchen wir noch die erste und zweite Ableitung: Jetzt stellen wir die erste Abzweigung auf Null und stellen sie ein: Weil wir nach einem Mindestwert streben, müssen wir diesen in die zweite Derivate einfügen und sehen, ob er grösser als Null ist: Das hätte gezeigt, dass es sich um ein Mindestwert gehandelt hat.

Nun können wir die Dosenhöhe berechnen, indem wir den Umkreis in die obige Formel einfügen: Ein Behälter mit einem Umkreis von ca. 3.745 cm und einer Bauhöhe von ca. 7.490 cm hat die kleinste Grundfläche mit einem Volumen von 330 ml.