Flächeninhalt

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Das Flächenmaß ist ein Maßstab für die Grösse einer Flächeninhalt. Der Begriff Oberfläche bezieht sich auf flächige Strukturen, d.h. solche, in denen man sich in zwei voneinander unabhängigen Bewegungsrichtungen fortbewegen kann. Diese Oberflächen sind für viele Anwendungsfälle bereits ausreichend, kompliziertere Oberflächen können oft aus ihnen zusammengesetzt oder durch sie approximiert werden. Die Oberfläche ist in der mathematischen Forschung, bei der Bestimmung vieler physischer Grössen, aber auch im täglichen Leben eine bedeutende Bedeutung.

Zum Beispiel ist die Druckkraft als Flächenkraft oder das Magnetmoment einer Stromschleife als Stromaufnahme multipliziert mit der umströmten Fläche zu definieren. Ausgehend vom Flächeninhalt kann der Stoffverbrauch, z.B. von Samen für ein Spielfeld oder von Farben zum Bemalen einer Oberfläche, geschätzt werden. Die Oberfläche wird in dem Sinn normalisiert, dass das Einheitenquadrat, d.h. das Quadrat auf der Seite 1, die Oberfläche 1 aufweist; in Einheiten angegeben, hat ein Quadrat auf der Seite 1 Meter die Oberfläche 1 m2.

Damit Oberflächen durch ihre Oberfläche vergleichsweise gut sind, muss man verlangen, dass deckungsgleiche Oberflächen die gleiche Oberfläche aufweisen und dass die Oberfläche von Verbundoberflächen die Addition der Inhaltsstoffe der Teilflächen ist. Grundsätzlich wird die Messung von Gebietsinhalten nicht unmittelbar durchgeführt. Vielmehr werden gewisse Strecken vermessen, aus denen dann die Fläche ermittelt wird.

Um den Flächeninhalt eines Vierecks oder einer Halbkugel zu messen, messen Sie in der Regel die Seitenlänge des Vierecks oder den Kugeldurchmesser und erhalten den gewünschten Bereich mit Hilfe von geometrischen Gleichungen, die nachfolgend aufgeführt sind. Die folgende Übersicht listet einige namhafte Zahlen aus der Flugzeuggeometrie zusammen mit Berechnungsformeln für ihre Oberfläche auf.

Um die Größe eines Vielecks zu bestimmen, können Sie es dreieckig machen, d.h. durch Zeichnen von Diagonalen zu Dreiecken aufteilen, dann die Größe der dreieckigen Flächen bestimmen und anschließend diese Teilelemente hinzufügen. Ist der Koordinatenstil (xi,yi){\displaystyle (x_{i},y_{i})}, i=1...n{\displaystyle i=1\dotsc n}, die n{\displaystyle n} Ecken des Vielecks in einem cartesianischen Koordinatensystem bekannt, kann die Flächenausdehnung mit der Gauß' schen trapezförmigen Formel errechnet werden:?

Eine positive Summierung ergibt sich, wenn die Eckenpunkte entsprechend der Drehrichtung des Koordinaten-Systems verfahren werden. Das Pickset kann insbesondere für Polygonflächen mit Rasterpunkten als Ecke verwendet werden. Die übrigen Teilflächen können in der Standardausführung leicht durch Vielecke angenähert werden, so dass ein ungefähre Größe erreicht werden kann. An dieser Stelle sind beispielhaft einige exemplarische Berechnungsformeln für die Oberflächenberechnung angeordnet:

Eine typische Vorgehensweise zur Bestimmung solcher Flächen ist das so genannte "Abrollen" oder "Abrollen" in der Fläche, d.h. man bemüht sich, die Fläche so in die Fläche einzubinden, dass die Fläche beibehalten wird, und bestimmt dann die Fläche der resultierenden Planfläche. Unter anderem wurde die integrale Berechnung zur Bestimmung von Bereichsinhalten unter Kurvendarstellungen, d.h. unter Funktionskurven, aufgesetzt.

Es geht darum, den Bereich zwischen der Biegung und der x{\displaystyle x}-Achse durch eine Serie von schmalen Rechtecken zu nähern und dann die Weite dieser rechteckigen Bereiche in einem Begrenzungsprozess gegen 0 gehen zu laßen. Es kommt vor, dass Oberflächen unterhalb der x{\displaystyle x}-Achse zu negativen Werten werden, was bei der Ermittlung des Oberflächeninhalts nicht erwünscht sein kann.

Obgleich der Bereich von -?{\displaystyle -\infty } bis +?{\displaystyle +\infty } geht, ist der Bereich gleich eins. Beim Versuchen, weitere Bereiche zu kalkulieren, zum Beispiel unter diskontinuierlichen Bögen, trifft man schlussendlich auf die Fragestellung, welche Quantitäten in der ebenen überhaupt einen sinnvollen Bereich haben sollten. Dabei zeigt sich, dass das hier eingesetzte Konzept des intuitiven Flächeninhalts nicht auf alle Untergruppen der Plane ausgeweitet werden kann.

Im Differentialgeometrieverfahren wird die Oberfläche einer planen oder gewölbten Oberfläche F{\displaystil F} mit den Koordinatendaten (u,v){\displaystil (u,v)} als Oberflächenintegral berechnet: Das Oberflächenelement d?{\displaystyle \mathrm {d} ist die Oberfläche des Paralleldiagramms, die von den Berührungen zu den Koordinatensätzen mit den Schenkellängen du{\displaystyle \mathrm {d} u} und v}.

Die Flächenelemente sind von den Koordinatensystemen und der Gauß' schen Verkrümmung des Bereichs angewiesen. Im cartesischen Koordinatenbereich (x,y){\displaystyle (x,y)} ist das Bereichselement d?=dxdy{\displaystyle \mathrm {d} Für die Kugeloberfläche (-?/2?B??/2,-??L??{\displaystyle -\pi /2\leq B\leq \pi /2,-\pi \leq L\leq \pi }) der Bereich: Für die Kalkulation des Flächenelementes ist es nicht unbedingt notwendig, die Position eines Raumgebietes im Weltraum zu wissen.

Die Flächenelemente können nur aus den Dimensionen gewonnen werden, die innerhalb des Bereichs vermessen werden können und gehören somit zur Innengeometrie des Bereichs. Das ist auch der Umstand, dass sich die Oberfläche einer (abwickelbaren) Oberfläche während des Abwickelns nicht verändert und somit durch Abrollen in einer Richtung ermittelt werden kann.

Natürlich kommen OberflÃ?chen auch in der Ã-kologie als zu messendes Gut vor. Die indirekte Messung von Bereichen erfolgt in der Praxis in der Praxis mit den oben genannten Methoden. Die typischen Grössen, in denen Bereiche vorkommen, sind: b? {\vec {a}}}}\displaystyle {\vec {a}}}}\times {\vec {b}}}. Für die Bewertung solcher integralen Gleichungen sind Formel für die Flächenberechnung nützlich. Auch in der Bauphysik gibt es Oberflächengrößen, die eigentlich nur durch experimentelle Untersuchungen ermittelt werden, wie z.B. streuende Querschnitte.

Das so bestimmte Maß hat die Abmessungen eines Bereichs. Weil das Streuverhalten nicht nur von Geometriegrößen, sondern auch von anderen Interaktionen zwischen den Streupartnern abhängig ist, kann die Messfläche nicht immer unmittelbar mit dem Geometriequerschnitt der streuenden Partner gleichgesetzt werden. Dies wird allgemein als Querschnittsbereich bezeichnet, der auch die Abmessung einer Oberfläche hat.

Im Falle von grafischen Methoden muss der Bereich abgebildet werden. Oberflächen, deren Begrenzungen durch ein Mehrkant bilden, können in dreieckige oder trapezförmige Formen unterteilt werden, deren Basislinien und Höhe vermessen werden. Daraus werden die flächenbezogenen Inhalte der Teilbereiche und abschließend die flächenbezogenen Inhalte der gesamten Oberfläche errechnet. Eine halbgrafische Bereichsberechnung wird verwendet, wenn der Bereich in enge Winkel unterteilt werden kann, deren kurzer Sockelbereich im Feld exakt vermessen wurde.

Weil der Relativfehler des Flächeninhaltes im Wesentlichen durch den Relativfehler der schnellen Basisseite bedingt ist, kann die Richtigkeit des Flächeninhaltes durch Vermessung der Basisseite im Feld statt in der Landkarte gegenüber der reinen grafischen Darstellung erhöht werden. Ungleichmäßige Oberflächen können mit einer quadratischen Glasscheibe erkannt werden. Das Panel wird auf dem abgebildeten Bereich platziert und der Bereich wird durch Zählen der Felder innerhalb des Bereichs festgelegt.

Für längliche Bereiche kann eine Planimeter-Harfe verwendet werden. Der Planimeter ist so auf der Oberfläche platziert, dass die Striche etwa rechtwinklig zur Oberflächenlängsrichtung sind. Dabei wird der Bereich in Trapezoide aufgeteilt, deren Mittelachsen mit einem Teiler ergänzt werden. Die Oberfläche kann aus der Addition der Länge der Mittellinien und des Linienabstandes errechnet werden.

Zur Bestimmung des Flächeninhaltes von Oberflächen mit gekrümmten Grenzen bietet sich das Planetimeter, ein mechanisch-integrierendes Instrument, besonders an. Eine Walze rotiert um die Oberfläche und die Rotation der Walze und die Grösse der Oberfläche kann auf einem mechanischem oder elektronischem Zähler ablesen werden. Der Genauigkeitsgrad ist abhängig davon, wie exakt der Bediener mit dem Antriebsstift entlang der Oberflächenkante fährt.

Je kleiner der Durchmesser im Vergleich zur Oberfläche, desto präziser ist das Resultat. Der Flächennachweis aus Feldabmessungen kann verwendet werden, wenn die Flächen in Dreiecke und Trapezoide unterteilt werden können und die für die Flächennachrechnung erforderlichen Abstände im Feld ausmessen werden. Wurden die Eckenpunkte der Oberfläche nach dem orthogonalen Verfahren zu einer Messlinie abgewinkelt, kann die Oberfläche auch nach der Gauß' schen trapezförmigen Formel errechnet werden.

Heutzutage werden Flächen oft aus Koordinatendaten errechnet. Das können z.B. die Grenzpunkte im Immobilienkataster oder Ecken punkte einer Oberfläche in einem Geodatenverarbeitungssystem sein. Oftmals sind die Eckenpunkte durch gerade Geraden miteinander verknüpft, manchmal auch durch Kreisbogen. Deshalb kann die Oberfläche mit der Gauß' schen trapezförmigen Formel errechnet werden. Soll der Gehalt eines unregelmäßigen Bereichs in einem Geodatenverarbeitungssystem bestimmt werden, kann der Bereich durch ein Vieleck mit kurzer Seitenlänge angenähert werden.