Geometrie

Innengeometrie

Die Vorlesung konzentriert sich auf das Konzept der Gruppe und die Rolle, die dieses Konzept in der euklidischen und hyperbolischen Geometrie spielt. Geometriedidaktik, Lineare Algebra/analytische Geometrie Das Institut für Geometrie ist mit seinem Lehrangebot in vielen Lehrplänen verankert. mw-headline" id="History_of_German_speaking_geometrical_literature">History_of_German_speaking_geometrical_literature[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Geometrie (altgriechisch ????????? zu ionisieren. ?????????) Geometrie (ionisch geometri?)'Erdmessung','Erdmessung','Landmessung') ist ein Zweig der Physik. Unter Geometrie wird zum einen die zwei- und dreidimensional anmutende eiuklidische Geometrie, die auch in der Schule - früher unter dem Stichwort Raumtheorie - unterrichtet wird und sich mit Punkt, Gerade, Fläche, Abstand, Winkel usw. sowie denjenigen konzeptionellen Formationen und Verfahren auseinandersetzt, die im Rahmen einer planmäßigen und math. Bearbeitung dieses Sachverhaltes entstanden sind.

Auf der anderen Seite deckt der Ausdruck Geometrie eine Vielzahl von großen Bereichen der mathematischen Forschung ab, deren Beziehung zur elementaren Geometrie für Laie schwierig zu erkennen ist. Das betrifft vor allem das moderne Konzept der Geometrie, das sich im Allgemeinen auf die Erforschung von invarianten Mengen bezieht. Der Gebrauch des Plural zeigt, dass der Ausdruck Geometrie in einem sehr spezifischen Sinne verwendet wird, und zwar Geometrie als ein mathematisches Gebilde, dessen Bestandteile traditionell Punkt, Gerade, Fläche.... genannt werden und dessen Beziehung zueinander durch Axiome reguliert ist.

Diese Position geht auf Euklid zurück, der versuchte, die Aussagen der flachen elementare Geometrie der Ebene Euklidan auf einige wenige Präzipitate (d.h. Axiome) zurückzuverfolgen. In der folgenden Auflistung soll ein Übersicht über die verschiedenen Arten von geometrischen Formen gegeben werden, die in dieses System passen: Projektionsgeometrie und Affine Geometrie: Solche Formen setzen sich in der Regel aus Linien und Linien zusammen, und die Achsen beziehen sich auf die Verbindung von geradlinigen Linien von Linien und die Schnittmengen von geradlinigen Linien.

Affin- und Projektionsgeometrien kommen in der Regel paarweise vor: Die Hinzufügung von Distanzelementen verwandelt eine Affin-Geometrie in eine Projektions-Geometrie, und das Beseitigen einer Gerade oder Fläche mit ihren Spitzen verwandelt eine zwei- oder dreidimensionale Projektions-Geometrie in eine Affin-Geometrie. Im Bedarfsfall können die Messpunkte in der Affinitätsgeometrie auf einer Gerade so platziert werden, dass halbe Gerade und Linien definiert werden können.

Bei diesen Verfahren bezeichnet man die Affingeometrie und ihren Projektschluss als "arrangiert". Elluklidische Geometrie: Dies ist in der Regel die Geometrie, die sich aus den Euklid' s axiomatischen und postulierten Eigenschaften ableitet. Da die Struktur der seit Euklid überlieferten Lehre noch lückenhaft ist, hat David Hilbert in seinen Grundsätzen der Geometrie (1899 und vielen weiteren Ausgaben) ein Axiomsystem eingerichtet, aus dem er die eruklidische Geometrie bis zum Isomorphismus klar aufstellen konnte.

Dann kann es klar umrissen werden als der räumliche reale Vectorraum, in dem die Messpunkte durch die Vektorformen und die Geraden durch die Unterklassen der monodimensionalen Teilräume repräsentiert werden. werden wie in der seit Descartes gebräuchlichen Analysengeometrie erläutert. Nicht-uklidische Geometrie: Geometrien, deren Merkmale in vielerlei Hinsicht vergleichbar mit der euklidischen Geometrie sind, bei denen aber das parallele Postulat (auch Parallelaxiom genannt) nicht ausreicht.

Es wird zwischen elliptischen und hyperbolischen Formen unterschieden. Die Absolutgeometrie: ist die gängige Unterstruktur der äuklidischen und nicht-äuklidischen Geometrie, d.h. die Gesamtheit aller Theoreme, die ohne das parallele Postulat nachgewiesen wurden. Bei jeder Geometrie interessieren einen diejenigen Umwandlungen, die gewisse Merkmale (d.h. ihre Automorphismen) nicht zerstören: Zum Beispiel verändern weder eine parallele Verschiebung noch eine Rotation oder Reflexion in einer flächigen äuklidischen Geometrie die Entfernungen von Spitzen.

Im Umkehrschluss ist jede Umwandlung, die die Entfernungen der einzelnen Elemente nicht verändert, eine Komposition aus parallelen Verschiebungen, Rotationen und Reflexionen. Es wird gesagt, dass diese Figuren die Umwandlungsgruppe darstellen, die zu einer Ebene der Euklidischen Geometrie gehören, und dass der Unterschied zwischen zwei Pünktchen eine Euklidische Varianz ist. Geometrisch definierte Felix Klein in seinem Errangener Studium im Allgemeinen als die Lehre von Umwandlungsgruppen und deren Ausprägungen ( "Figure geometry"); dies ist jedoch bei weitem nicht die einzige Möglichkeit der Ausgestaltung.

Nachfolgend finden Sie eine Liste von geometrischen Formen und markanten Invarianten: Affin-Geometrie: Die Parallelisierung von Linien, das Teilungsverhältnis von drei Messpunkten einer Linie, das Flächeninhaltsverhältnis. Neben der Affinitätsgeometrie sind auch Abstandsverhältnisse und Neigungswinkel unveränderlich. Elluklidische Geometrie; weitere Varianten sind die Entfernungen der Punkte und die Ecken. Nicht-uklidische Geometrie: Unveränderlich sind die Kollinearitäten der Punkte, die Entfernungen der Punkte und die Abstrahlwinkel.

Allerdings entsprechen die beiden nicht-uklidischen geometrischen Formen nicht der obigen Aufgliederung. In der folgenden Auflistung werden sehr große und weit reichende Bereiche der mathematischen Erforschung abgedeckt: Die Differenzgeometrie ist der Geometriezweig, in dem im Besonderen Analysemethoden und Topologien angewendet werden. Grundlegende Differenzgeometrie, Differenztopologie, Riemann-Geometrie und die Lie-Gruppentheorie sind unter anderem Teilbereiche der Differenzgeometrie.

Algorithmische Geometrie. Dabei kann die theoretische Lehre von mathematischen Gruppierungen, die theoretische Lehre von Abels Varianten oder die Torus- und Tropengeometrie als Teilbereiche der mathematischen Geometrie erwähnt werden. Die künstliche Geometrie setzt den traditionellen Weg der "reinen" Geometrie fort, indem sie abstrakt geformte Gegenstände (Punkte, Linien) und ihre Relationen (Schnittpunkt, Parallelisierung, Orthogonalität...) anstelle neuronaler Gegenstände (Koordinaten, Morphismen....) verwendet.

Analytische Geometrie (Rechengeometrie). Discrete Geometrie, die als weiteren, ältesten Teilbereich der kombinatorischen Geometrie beinhaltet und sich mit Vieldeckern, Pflaster-, Plan- und Raumdichtungen, Luftmatroiden, Einfallsstrukturen, Sperrplänen und dergleichen im Teilbereich der Finite-Geometrie befasst. In der Regel werden im Geometrielernen Vorrichtungen wie Kompasse, Lineale und Dreiecke eingesetzt, aber auch der Rechner (siehe auch: Dynamic Geometry).

Zu den ersten Gründen für den Geometrieunterricht gehören geometrische Umformungen oder die Messung geometrischer Grössen wie z. B. Längen, Winkeln, Flächen, Volumina, Verhältnissen, etc. Die deskriptive Geometrie ist die grafische Repräsentation der 3D-Euklidgeometrie in der (zweidimensionalen) eben. Einführung in die Geometrie. H. S. M. Coxeter, L. Greitzer: Geometrie erneut besucht. Hochsprung ? Hubert L. L. L. Busard: Die Practica Geometrien von Dominicus de Clavasio.

Jahrgang 2, 1965, S. 520-575. Hochsprung ? Geometria Culmensis.

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