Gruppe

Konzern

Group (von der französischen Gruppe, von der italienischen Gruppe) steht für: Die Gruppe f (Genitivgruppe, mehrere Gruppen, Verkleinerungsgruppen n oder kleine Gruppen n). Erstmalige Beispiele">Edit | < Quellcode bearbeit.] Die nach Sophus Lie benannte Lie-Gruppe (auch Lieschen-Gruppe )[1] ist eine statistische Analyse, die zur Darstellung kontinuierlicher Symbmmetrien dient. Lügengruppen sind in nahezu allen Bereichen der modernen mathematischen Wissenschaft sowie in der Theorie, insbesondere der Partikelphysik, ein wichtiges Werkzeug. Lügengruppen und Lie-Algebren wurden um 1870 von Sophus Lie in Lie-Theorie vorgestellt, um die Symmetrie in Differenzialgleichungen zu untersuchen.

Der ältere Begriff Steady Group oder Continuous Group für eine Lie-Gruppe beschreibt besser, was heute von einer Topologiegruppe verstanden wird. Jeder Lie-Gruppe ist auch eine Topologie-Gruppe. In diesem Beitrag wird (in Anlehnung an die übliche Terminologie) auf endliche dimensionale Lie-Gruppen eingegangen. Außerdem gibt es eine Lehre von unendlichen Lie-Gruppen, z.B. Banach-Lie-Gruppen. Die so genannte Kreisgruppe: Das Ergebnis von zwei Ziffern von Menge 1 hat wieder Menge 1, ebenso wie das Umkehrspiel.

Hier hat man auch eine "mit der Differenzialrechnung kompatible Gruppenstruktur", d.h. eine Lüge. Die ( (2)} ist daher eine Lüge. Es kann nachgewiesen werden, dass dieser Gruppenhomomomorphismus und seine Reverse Imaging unterscheidbar sind. Vom Standpunkt der Lie-Gruppentheorie aus gesehen, sind die Gruppe der Rotationsmatrizen und der Einheitenkreis die gleiche Gruppe. Ein wichtiger Beweggrund der Lie-Gruppentheorie ist, dass man eine Lie-Algebra für Lie-Gruppen erstellen kann und dass viele gruppentheoretische oder differenzgeometrische Problemstellungen auf das korrespondierende Problemfeld in der Lie-Algebra zurückverfolgt und dort gelöst werden können.

"Die Lie-Algebra ist simpler als die Gruppentheorie".) Um die Lie-Algebra zu definieren, braucht man die Unterscheidbarkeit und Kompatibilität der Konzernoperationen mit ihr. Die Lie-Gruppe ist eine reibungslose reale Multiplizität, die zudem die Gliederung einer Gruppe aufweist, so dass die Gruppenbindung und die Invertierung beliebig oft differenziert werden können. Das Maß der Lie-Gruppe ist das Maß der zugrunde liegenden Multiplizität.

Wenn dies endlich ist, ist die zugrunde liegende Multiplizität automatisiert und die Gruppen- und Inversionsmultiplikation sind Analysefunktionen. Bei einer komplexen Lie-Gruppe handelt es sich um eine vielschichtige Multiplizität mit einer Konzernstruktur, so dass die Gruppenbindung und -invertierung auf vielfältige Weise differenziert werden kann. Mit der Lie-Klemme formen die Vektorenfelder auf einer gleichmäßigen Vielzahl M{\displaystyle M} eine unendliche Lie-Alge.

Der Lie-Algebra g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}, der zu einer Lie-Gruppe G{\displaystyle G}} gehört, setzt sich aus dem Teilraum der linksinvarianten Vektorenfelder auf dem G{\displaystyle G} zusammen. Dieses Vektorfeld ist zum tangentialen Raum TeG ( "TeG") gleichförmig. T_{e}G} am Neutralelement e ( "e") des G ( "G") ist gleichbedeutend mit "G"). Vor allem die Darstellungsform dimG=dimg{\displaystyle \dim G=\dim {\mathfrak {g}}}} ist anwendbar. In Bezug auf die Lie-Klammer[?,?]{\displaystyle [\cdot ,\cdot \cdot ]} wird der Vektorbereich g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}} geschlossen.

So ist der tangentiale Raum einer Lie-Gruppe G{\displaystyle G} am neutralem Glied eine Lie-Alge. Die Lie-Algebra heißt Lie-Algebra der Lie-Gruppe G{\displaystyle G}. Für jede Lie-Gruppe G{\displaystyle G} mit Lie-Algebra g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}} gibt es eine exponentielle Zahl exp:g?G{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow G}. Wäre G{\displaystyle G} eine geschlossene Subgruppe von GL(n,R){\displaystyle \mathrm {GL}.

Die Skalarprodukte auf TeG=g{\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}} definieren ein Gerüst auf G{displaystyle G}-invariante Riemann metrische auf Gerüst auf Gerüst aufwärts. Für den Sonderfall, dass diese Kennzahl auch rechts-invariant ist, entspricht die exponentielle Darstellung von Riemanns Multiplizität für G{\displaystil G} am Zeitpunkt e{\displaystil e} der exponentiellen Darstellung der Lie-Gruppe. Die Formel von Baker-Campbell-Hausdorff begründet den Zusammenhangspunkt zwischen der Vervielfachung in der Lie-Gruppe und der Lie-Klammer in ihrer Lie-Algebra: Ein Gleichmut der Lie-Gruppen G,H{\displaystyle G,H} ist ein Gruppen-Homorphismus f:G?H{\displaystyle f\colon G\to H}, der gleichzeitig eine geschmeidige Figur ist.

Sie können nachweisen, dass dies bereits der Fall ist, wenn f{\displaystyle f} stabil ist, und dass f{\displaystyle f} überhaupt ein analytisches Verhalten aufweisen muss. für alle X?g{\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}}. Wenn G{Display Style G} und H{Display Style H} schlicht weg zusammenhängen, ist jeder Lie-Algebral-Homomorphismus offensichtlich mit einem Lie-Gruppen-Homomomorphismus identisch. Eine Isomorphose von Lie-Gruppen ist eine bijektive Homomorphose der Lie-Gruppe.

Seien Sie im G-Display-Stil G eine Lie-Gruppe. Ein Lie-Subgruppe H{\displaystyle H} ist eine Subgruppe von {\displaystyle G} zusammen mit einer topologischen und einer geschmeidigen Gliederung, die diese Subgruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht. Handelt es sich bei H?G{\displaystyle H\subset G} jedoch um eine embedded Topologieuntergruppe mit der Gliederung einer embedded Subimmulität, dann ist H{\displaystyle H} auch eine Lie-Gruppe.

mit der Vektorzusatz als Gruppe ist eine etwas banale echte Lie-Gruppe (Rn{\displaystyle \mathbb {R}} Die Lie-Algebra kann man als g={A?Matn(R) definieren: ?RetA?G}{\displaystyle {\mathfrak {g}}}=\{A\in \mathrm {Mat} _{n} (\mathbb {R} ):\forall ta\inmatb {R} {R} Die Exponentialfigur exp:g?G{\displaystyle \exp \colon {\mathfrak {g}}}\rightarrow G} entspricht in diesem Falle der Matrix-Exponential.

Es ist nicht jede Lie-Gruppe gleichbedeutend mit einer Subgruppe einer allgemeinen geradkettigen Gruppe. Nach den maßgeblichen Literaturquellen zur frühen Geschichte der Lie-Gruppen[3] sah Sophus Lie selbst den Sommer 1873-1874 als das Entstehungsdatum seiner Theorien der Steady Groups. Allerdings vermutet Hawkins, dass es "Lesen Sie die erstaunlichen Forschungstätigkeiten während der vier jährigen Zeitspanne zwischen dem Herbsten 1869 und dem Herbsten 1873" waren, die zur Entstehung dieser Theorien führten.

1884 arbeitet der jugendliche dt. Mathematiker Friedrich Engel zusammen mit Lie an einer systematisch angelegten Arbeit über seine Theorien der kontinuierlichen Arbeitsgruppen. Diese Bestrebungen führten zur dreibändigen Theory of Transformation Groups, deren Bücher 1888, 1890 und 1893 erschienen sind. Hilbert's fünftes Problemfeld stellte die Frage, ob eine lokale Topologiegruppe des Euklides eine Lie-Gruppe ist.

"("lokaler Euklidin" bedeutet, dass die Gruppe eine Vielfalt sein sollte. In der Topologie gibt es Gruppierungen, die keine Verteiler sind, z.B. die Kantorgruppe oder Magnete.) Die Evidenz ist in engem Zusammenhang mit der Strukturellen Lehre der lokalen kompakten Gruppe, die eine breite Generalisierung der Lie-Gruppe ausmacht. Tatsächlich war sein Interessensgebiet an der geometrischen Gestaltung von Differenzialgleichungen zunächst durch die Arbeiten von Carl Gustav Jacobi über die Theorien partieller Differenzialgleichungen erster Ordnung und die mathematischen Grundlagen der klass. Techn.

Die Lies IDEE Fix war es, eine Symmetrietheorie der Differenzialgleichungen zu erarbeiten, die für sie das erreichen würde, was Evariste Galois für die algebraischen Formeln geleistet hatte: sie mittels Gruppentheorie zu unterteilen. Bernhard Riemanns Vorstellungen von den Grundzügen der Lehre und deren Weiterentwicklung durch Klein (siehe auch Erranger Programm) gaben zusätzliche Impulse für die Beobachtung kontinuierlicher Teilbereiche.

So wurden drei Themenschwerpunkte der mathematischen Forschung des neunzehnten Jahrhundert durch Lie in der Entstehung seiner neuen Lehre vereint: die Symmetrieidee, wie sie durch Galois' Gruppenidee erläutert wird, das neue Geometrieverständnis, das aus der Arbeit von Plückers, Möbius, Graßmanns und anderen hervorgegangen ist und das in Riemanns Revolutionsvision zu diesem Thema gipfelte.

Obwohl Sophus Lie heute rechtlich als Begründer der Theorien kontinuierlicher Gruppierungen gilt, wurden große Fortschritte bei der Weiterentwicklung der damit verbundenen strukturellen Theorien erzielt, die einen wesentlichen Einfluß auf die spätere Weiterentwicklung der Mathematik hatten, von Wilhelm Killing, der 1888 den ersten Aufsatz in der Reihe Die Zusammensetzung des Stetigens finlichen Transformationsgruppen[7] veröffentlichte.

Killing's Werk, das später von Ärztin Cartan weiterentwickelt wurde, führt zur Klassifizierung von halbintegrierten Lie-Algebren, Cartan's Theory of Symmetric Spaces und Hermann Weyl's Schilderung der Repräsentationen von Kompakt- und Halbintegral-Lie-Gruppen nach Gewicht. Heyl hat die Frühzeit der Evolution der Lie-Gruppentheorie zur Vollendung gebracht, indem er nicht nur die nicht reduzierbaren Repräsentationen semi-normaler Lie-Gruppen klassifiziert und die Gruppentheorie mit der neuen Quantenmechanik assoziiert hat, sondern auch der Read-Theorie eine solidere Grundlage gegeben hat, indem er zwischen den infinitesimalen Read-Gruppen (den heutigen Lie-Algebren) und den tatsächlichen Lügengruppen eindeutig unterschieden hat und mit der Erforschung der Lie-Gruppentopologie begann[8].

The theory of Lie groups wurde in einer Monografie von Claude Chevalley in zeitgenössischer Mathematiksprache systemisch erarbeitet. Be g g-artigem G eine kleine Lie-Gruppe mit Tötungsform B-artigem B- und adjungiertem Ad-Anzeigen-Stil. Anschließend bestimmt -B{\displaystyle -B} ein werbewirksames werbewirksames skalares Produkt auf der Lie-Algebra go{displaystyle go {\mathfrak {g}}} und damit eine zweifach variante Riemann-Metrik auf G.

Auf diese Kennzahl beziehen sich die folgenden Formel, die es ermöglichen, geometrische Differentialgrößen durch lineare Algorithmen zu ermitteln (Berechnung von Kollektoren im g{\displaystyle {\mathfrak {g}}}): Levi-Civita Kontext: Vor allem die Schneidekrümmung von bi-invarianten Kennzahlen bei kleinen Lie-Gruppen ist immer nicht negativ. Jeder Lie-Gruppe ist eine Topologie-Gruppe. So hat eine Lie-Gruppe auch eine Topologie und kann nach Topologieattributen eingeteilt werden:

Lügengruppen können z.B. angrenzend, einzeln angrenzend oder in kompakter Form sein. Sie können Lie-Gruppen auch nach ihren mathematischen, gruppentheoretischen Merkmalen einteilen. Lügengruppen können simpel, halb simpel, löslich, nilpotent oder abstrakt sein. Hier ist zu erwähnen, dass bestimmte Merkmale in der Lie-Gruppenlehre anders als in der Regel in der Gattungstheorie festgelegt sind: Eine angrenzende Lie-Gruppe wird als simpel oder semi-när bezeichnet, wenn ihre Lie-Algebra simpel oder semi-när ist.

Ein einfacher Lie-Gruppe G ist dann nicht unbedingt ein einfacher im gruppentheoretischen Sinn. Allerdings gilt: Wenn G eine simple Lie-Gruppe mit Mittelpunkt U ist, dann ist die Factor-Gruppe G/Z auch im gruppentheoretischen Sinn simpel. Ebenso werden die Properties neilpotent und lösbar in der Regel durch die korrespondierende Lie-Algebra festgelegt. Halbschlichte komplizierte Lie-Algebren werden durch ihre Darstellungen von Dynkin eingeteilt.

Da jede Lie-Algebra die Lie-Algebra für eine eindeutige, schlichte und kohärente Lie-Gruppe ist, gibt es eine Klassifizierung der schlichten, halb-und-halb-schweren Lie-Gruppen (und damit eine Klassifizierung der universalen Superpositionen von Komplexisierungen willkürlicher, halb-und-halb-stelliger realer Lie-Gruppen). Grob gesagt ist eine Lie-Gruppe eine Gruppe, die ein Continuum oder ein kontinuierlich verbundenes Ganzes ausmacht.

Das einfache Beispiel einer Lie-Gruppe ist die Summe aller Rotationen einer Fläche um einen festen exzellenten Mittelpunkt, der sich in dieser Fläche befindet: All diese Rotationen zusammen ergeben eine Gruppe, aber auch ein Continuum in dem Sinn, dass jede dieser Rotationen durch einen Blickwinkel zwischen 0 und 360 oder ein Radiusmaß zwischen 0 und 1? klar beschrieben werden kann und dass Rotationen, die sich nur durch kleine Neigungswinkel von einander abheben, fortlaufend aufeinander übertragen werden können.

Eine Kreislinie, die in der zu betrachtenden Fläche aufliegt und den Festpunkt als Zentrum hat, kann dann aus der Perspektive dieser Lie-Gruppe als rotationssymmetrisch bezeichnet werden, da sie bei jeder Rotation unveränderlich ist. Andererseits ist ein Viereck, dessen Mitte dem Festpunkt entspricht, aus der Perspektive der jetzigen Lie-Gruppe nicht rotationssymmetrisch.

Bei der gegebenen Lie-Gruppe können Sie Zahlen der Fläche mit einer " Rotationssymmetrie " ausdrücken.

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