Kettenregel

mw-headline" id="Mathematische_Formulierung">Mathematische Formulierung[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Der Kettenregel ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung.} Es macht Angaben über die Herleitung einer funktionellen Größe, die sich selbst als Verknüpfung von zwei unterschiedlichen funktionellen Größen abbilden lässt.} Kernanweisung der Kettenregel ist, dass eine solche Funktionalität selbst unterscheidbar ist und dass ihre Herleitung erhalten wird, indem die beiden verknüpften Funktionalitäten getrennt abgeleitet und - an den korrekten Punkten bewertet - vervielfacht werden.

Der Kettenregel kann auf solche Funktionalitäten verallgemeinert werden, die als Verknüpfung von mehr als zwei unterschiedlichen Funktionalitäten dargestellt werden können. Eine solche Funktionalität kann auch differenziert werden, ihre Herleitung ergibt sich aus der Vervielfachung der Herleitungen aller geschachtelten Funktionsbereiche. Bei der Kettenregel handelt es sich um einen Sonderfall der multidimensionalen Kettenregel für den monodimensionalen Vorfall.

Funktioniert mit v( (V)?U{\displaystyle v() \subset U}. Dabei kann die Funktionalität v{\displaystyle v} in point x0?V{\displaystyle x_{0}\in V} und u{\displaystyle u} in point z0:=v(x0)?U{\displaystyle z_{0}:=v(x_{0})\in up} differenziert werden. lässt sich in Punkt x0 unterscheiden x_{\displaystyle x_{0}} und es trifft folgendes zu: In Verbindung mit der Kettenregel wird u{\displaystyle u} auch als äußerer, v{\displaystyle v} die innerer Funktionsweise von f{\displaystyle f} bezeichnet.

Praktischer Hinweis: Die Ableitung aus einer durch Verknüpfung in Punkt x0 gebildet Funktion ist die " äußere Ableitung " v? {\displaystyle u'}}, bewertet an Position v(x0){\displaystyle v(x_{0})}, mal die Ableitung auf Position x0{\displaystyle x_{0}}, bewertet. Kurz gesagt: "Äußere Ableitungszeiten innerer Ableitung". Die durch f (x)=(x3+1)2{\displaystyle f} definierten Funktionen f{\displaystyle f(x)=\left(x^{3}+1\right)^{2}} werden berücksichtigt, da f(x)=u(v(x)){\displaystyle f(x)=u(v(x))} gültig ist.

Dies wird als u{\displaystyle u} outer und v{\displaystyle v} innerer Funktionsweise bezeichnet. Zum Anwenden der Kettenregel brauchen wir die Derivate u?{\displaystyle u'} der ("externe Ableitung") und v?{\displaystyle v'} Da sowohl u{\displaystyle u} als auch v{\displaystyle v} unterscheidbar sind, kann f=u?v{\displaystyle f=u\circ v} auch nach der Kettenregel unterschieden werden, und das betrifft auch deren Ableitung: Jetzt u?(v(x))=2(x3+1){\displaystyle u'(v(x))=2(x^{3}+1)}, so dass wir die Summe erhalten:

Mit Hilfe der Farbgebung ist die zu Beginn der Formel entwickelte Speicherregel auch im Rezeptbild zu erkennen. Es ist zu beachten, dass die Repräsentation einer funktionalen Verknüpfung einer externen funktionalen mit einer internen function keinesfalls unmissverständlich ist. Damit kann die exemplarische Funktionalität auch als Verknüpfung der beiden Funktionstypen u(v)=(v+1)2{\displaystyle u(v)=(v+1)^{2}} und v(x)=x3{\displaystyle v(x)=x^{3}} verstanden werden, denn auch für diese beiden Funktionstypen gilt:

Der Einsatz der Kettenregel ist in diesem Falle rechenintensiver, da mindestens der Begriff (v+1)2{\displaystyle (v+1)^{2}} multipliziert werden muss. Alles in allem ist die Kettenregel im Sinn einer konstruktiven Hochschuldidaktik in diesem Beispiel selbst zu ergründen. Die Innenfunktion v(x)=x3+1{\displaystyle v((x)=x^{3}+1} wird nach der Ableitung durch Ausschließen vorbereitet: Daraus kann dann die Kettenregel abgeleitet werden, die dann noch in ihrer allgemeinen Gültigkeit nachgewiesen werden muss.

Um das Ableitungsergebnis von u?v{\displaystyle u\circ v} zu ermitteln, muss der Differenzquotient ?u?x{\displaystyle {\frac {\delta u}{\delta x}}}} berechnet werden. Anschließend erhalten Sie eine Summe für die Herleitung der Kettenfunktion: Das bedeutet, dass die Funktionalität z?D(z,z0){\displaystyle z\mapsto D(z,z_{0})} an der Position z0{\displaystyle z_{0}} konstant ist. Darüber hinaus, für alle z?U{\displaystyle z\in U}: Sei U, V?C{\displaystyle U, V\subset \mathbb {C}

Funktioniert mit v(V)?U{\displaystyle v(V)\subseteq U}. Man kann die Funktionalität v{\displaystyle v} in point x0?V{\displaystyle x_{0}\in V} und u{\displaystyle u} in point v(x0)?U{\displaystyle v(x_{0})\in U} differenzieren. kann man in Punkt x0 unterscheiden x_{\displaystyle x_{0}} und folgendes gilt: Fazit: Die komplizierte Kettenregel (einschließlich ihres Beweises) ist vollkommen realanalog. Wie durch komplette Einarbeitung nachgewiesen werden kann.

Bei der praxisnahen Berechnung des Derivats werden die Einflussfaktoren wie folgt multipliziert: Die erste Größe ergibt sich aus der Expression und Herleitung der äußersten Funktionalität durch eine eigenständige Größe. Statt dieser eigenständigen Größe ist für die übrigen (inneren) Funktionalitäten der Berechnungsausdruck zu verwenden. Die Berechnung des zweiten Faktors erfolgt analog zur Herleitung der zweiten äußersten Funktionalität, wodurch auch hier der Berechnungsausdruck für die zugeordneten innersten Funktionen verwendet werden muss.

Dieser Vorgang wird bis zum letzen Element, der innigsten Derivate, fortgesetzt. Beispielsweise kann die Funktionalität f(x)=(x3+1)2{\displaystyle f(x)=(x^{3}+1)^{2}} wieder verwendet werden. Dies kann als Verknüpfung der drei Funktionalitäten dargestellt werden: weil es gültig ist: Eine Generalisierung der Kettenregel für höherwertige Derivate ist die Formulierung von Faà di Bruno. Hier kennzeichnet f(n)(x){\displaystyle f^{(n)}(x)} die n{\displaystyle n}th Derivation von f{\displaystyle f} an der Position x{\displaystyle x}.

Im Folgenden werden differenzierte Funktionalitäten (Figuren) vorgestellt f:Rn?Rm{\displaystyle f\colon \mathbb {R} Das Ableiten eines solchen Bildes in Point x0?Rn{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} In der Kettenregel heißt es, dass die Verknüpfung von zwei differenzierten Bildern wieder differenziert werden kann. Die Herleitung erfolgt durch Verknüpfen der Einzelherleitungen. Ebenso kann eine Kettenregel für Fréchet-Derivate von Mappings zwischen Banach-Räumen und für die Derivate (Differenziale, tangentiale Mappings) von Mappings zwischen differenzierten Verteilertypen formuliert werden.

Bei vielen naturwissenschaftlichen Disziplinen wie z. B. den Natur- und Ingenieurwissenschaften ist die Kettenregel weit verbreitet. Hier hat sich jedoch eine spezielle Schreibweise herausgebildet, die eindeutig von der rechnerischen Schreibweise der Kettenregel abhängt. Bei einer Verkettelung von zwei Funktionen: h=f?g{\displaystyle h=f\circ g} mit y?f(y),x?g(x){\displaystyle y\mapsto f(y),x\mapsto g(x)}, wird die Kettenregel in dieser Schreibweise dargestellt:

Eine weitere übliche Vorgehensweise ist es, die eigenständige Variablen der function f{\displaystyle f} mit dem funktionalen Zeichen der Innenfunktion g{\displaystyle g} zu kennzeichnen, aber alle Argumentationsklammern zu wegzulassen: Schließlich wird kein weiteres Zeichen für die Verknüpfung f?g{\displaystyle f\circ g} eingefügt, aber die ganze Verknüpfung wird mit der externen Funktionalität f{\displaystyle f} identifiziert: f=f?g{\displaystyle f=f\circ g}.

Der Kettenregel erhält dann das folgende Aussehen: Formell präsentiert sich die Kettenregel hier als Ergänzung zum "break" df/dx{\displaystyle \mathrm {d} f/\mathrm {d} x} mit dg{\displaystyle \mathrm {d} g}, so dass sie in der physikalischen Literatur (und auch in anderen Natur- und Ingenieurwissenschaften) üblich ist, ganz zu schweigen von der Kettenregel bei ihrer Anwendbarkeit unter Namen.

Selbst wenn dies für das ungeschulte Fachpublikum auf den ersten Blick nicht immer sichtbar ist, steht hinter all diesen Rezepturen ohne Ausnahme die Kettenregel der Differenzialrechnung. In vielen Fällen repräsentiert die durch eine Verknüpfung beschriebe Menge auch eine gewisse physische Grösse (z.B. eine Leistung oder eine elektr. Spannung), für die ein gewisser Brief "reserviert" ist (z.B. U für Leistung und U für Spannung).

Ein deutlicher Pluspunkt ist die konsequente Nutzung von Funktions-Symbolen, deren Zeichen denen der zugrundeliegenden physisch relevanten Variablen entsprechen (E{\displaystyle E} für Energy, v{\displaystyle v} für Speed). Kettenregel. Kettenregel. Zitatregel, Kettenregel angewandt. Herleitung, Kettenregel.