Komplexe Zahlen

Aufwändige Zahlen

Tutorial über komplexe Zahlen und die Verwendung komplexer Zahlen bei der Analyse von rechteckigen und polaren Wechselstromkreisen. Für komplexe Zahlen gelten die gleichen Berechnungsregeln wie für reale Zahlen. So kann man den Körper (R,+,*) der reellen Zahlen mit R x identifizieren und ihn als Teilkörper des Körpers der komplexen Zahlen verstehen.

mw-headline" id="Definition">Definition[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Komplexzahlen wird der Nummernbereich der realen Zahlen so erweitert, dass die Formel in der Form der x^( {2}+1=0{\displaystyle x^{2}+1=0} löslich wird.} Erreicht wird dies durch die Einfügung einer neuen gedachten Nummer i{\displaystyle \mathrm {i} {i} uh mit der Property i2=-1{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1}.}. Die Nummer, die ich im Anzeigestil darstelle, wird als erfundene Größe betrachtet. Im Bereich der Elektrik wird statt dessen der Schriftzug j{\displaystyle \mathrm {j} verwendet.

um Verwechslungen mit einer Stromintensität in Abhängigkeit von der Zeit t{\displaystyle t} (angezeigt durch i{\displaystyle i} oder i(t){\displaystyle i(t)}) auszulösen. Komplexe Zahlen können in der folgenden Formel repräsentiert werden: a+b?i{\displaystyle a+b\cdot \mathrm {i} uh, worin a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} reale Zahlen sind und i{\displaystyle \mathrm {i} in der imaginären Element.

Für die so dargestellten komplexen Zahlen können die gebräuchlichen Berechnungsregeln für Realzahlen angewendet werden, bei denen i2{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}} immer durch -1{\displaystyle -1} und vice versa ausgetauscht werden kann. Bei der Gruppe der Komplexe Zahlen wird das Zeichen C{\displaystyle \mathbb {C} verwendet. Die so aufgebaute Zahlenreihe der Komplexzahlen stellt eine Erweiterung der realen Zahlen dar und hat eine Vielzahl von vorteilhaften Merkmalen, die sich in vielen Gebieten der Natur- und Technikwissenschaften als sehr hilfreich erweisen.

Eine der Ursachen für diese guten Ergebnisse ist die mathematische Isolierung der Komplexzahlen. Das heißt, dass jede mathematische Formel mit positivem Grad über die reellen Zahlen eine Antwort hat, was für reale Zahlen nicht zutrifft. Eine weitere Ursache ist ein Zusammenhangs zwischen Trigonometriefunktionen und der exponentiellen Funktion (Euler-Formel), die durch die Komplexzahlen erzeugt werden kann.

Darüber hinaus kann jede beliebige Funktionalität, die auf komplexe Weise auf einer Open-Sets unterschieden werden kann, dort so oft wie gewünscht unterschieden werden - anders als bei der Analyse reeller Zahlen. In der Funktionstheorie, auch komplexe Analyse oder komplexe Analyse oder Analyse oder Analyse bezeichnet, sind die Merkmale von Funktionalitäten mit komplexem Argumentarium thematisiert. Als komplexe Zahlen kann ein Zahlenbereich im Sinn einer Reihe von Zahlen definiert werden, für die die grundlegenden arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation, Subtraktion bei gleichzeitiger Differenzierung und Teilung mit den nachfolgenden Merkmalen erläutert werden:

mit echten Zahlen a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b}. Bei der imaginären Maßeinheit i{\displaystyle \mathrm {i} } } handelt es sich nicht um eine echte Nummer.

Das Vorhandensein eines solchen Nummernkreises wird im Kapitel über die Bildung komplexer Zahlen belegt. Dies kann mit den Begriffen Body und Isomorphismus formuliert werden: Gegenwärtig gibt es Minimalkörper, die den Textkörper aus realen Zahlen und ein Bauteil i{\displaystyle \mathrm {i} } mit der Property i2=-1{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} ausmachen.

Bei einem solchen Organ hat jedes der Elemente z{\displaystyle z} eine und nur eine Repräsentation als z=a+bi{\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } mit real a,b. Deren komplexe Zahlen sind für jeden solchen Organismus gleich. Der kartesische Begriff wird durch die Repräsentation in der Komplex- oder Gaußzahlenebene erklÃ??rt (siehe unten). Das kleine i wird in der Elektrik bereits für Stromstärken eingesetzt, die sich im Laufe der Zeit ändern (siehe Wechselstrom) und zu einer Verwechslung mit der gedachten Maßeinheit i in der Regel nicht mehr ausreichen.

Nach den Normen 1304-1 und 5483-3 können komplexe Zahlen hervorgehoben werden, um sie von realen Zahlen zu unterscheid. Zum Dividieren der komplexen Anzahl z1{\displaystyle z_{1}} durch die komplexe Anzahl der Anzahl der Zeichen der Anzeige. c) zum Dividieren der realen Anzahl der Zeichen z. 2{\displaystyle z_{2}}} Durch die Hinzufügung von z2?{\displaystyle lfd. 2}\neq 0} wird der Break um die komplexe Ziffer ergänzt, die mit dem Nominator lfd. 2{\displaystyle z_{2}}} z¯2=c-di{\displaystyle {\bar {z}}}_{2}=c-d\,\mathrm {i} ist.

Ergänzung: Subtraktion: Multiplikation: Division: von seinem wirklichen Teil Re(z)=a{\displaystyle \operatorname {Re} z_{1}, z_{2}):=|z_{1}-z_{2}|} Der komplexe Vektorbereich C{\displaystyle \mathbb {C} Es entspricht der Produkt-Topologie von R×R{\displaystyle {R} {R}. Es entspricht der Produkt-Topologie von R×R{\displaystyle reinrassigen. Manchmal \mathbb {R} On R{\display style \mathbb {R} mit der Standardkennzahl auf R{\displaystil \mathbb {R}. Die beiden Zimmer C{\displaystyle \mathbb {C}

Wie R. Display-Stil, Mathb. Obwohl die Mengen R{\display style {\mathbb {R}}} von realen Zahlen durch Punkt auf einer Zahlenreihe dargestellt werden können, kann die Mengen C{\displaystyle \mathbb {C} durch eine Zahlenreihe dargestellt werden. des Komplexes als Punkt in einer Fläche (komplexe Fläche, Gauß' sche Zahlenebene). Das korrespondiert mit der "doppelten Natur" von C{\displaystyle \mathbb {C}.

Der Teil der realen Zahlen formt die Horizontalachse, der Teil der reinen gedachten Zahlen (d.h. mit dem realen Teil 0) die Vertikalachse. Ein komplexe Zahl in der Art z=a+bi{\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } mit a,b?R{\displaystyle a,b\in \mathbb {R} dann hat die Horizontalkoordinate a{\displaystyle a} und die Vertikalkoordinate b{\displaystyle b}, d.h. wird durch das Paar von Zahlen (a,b){\displaystyle (a,b)} identifizer.

Definitionsgemäß korrespondiert die Hinzufügung von Komplexzahlen mit der Vektorenaddition, bei der die Stützpunkte in der Ziffernebene mit ihren Standortvektoren gekennzeichnet werden. In der Komplexitätsebene korrespondiert r{\displaystyle \ r} mit der Länge des Euklidvektors ( "Abstand zum Nullpunkt ") und ?{\displaystyle \varphi korrespondiert mit dem Blickwinkel der mit der Realachse enthaltenen Nummer z{\displaystyle \z}.

Weil ?{\displaystyle \varphi } und ?+2?{\displaystyle \varphi +2\pi } der gleichen Nummer z{\displaystyle \ z} zugewiesen werden können, ist die polare Repräsentation zunächst nicht klar. Die Nummer beispielsweise kann jedoch jedem beliebigen Parameter zugewiesen werden, und zum Zwecke einer einmaligen Repräsentation kann sie in diesem Falle sogar auf 0 gesetzt werden.

Bei der Auswahl einer für alle C{\displaystyle Windsurfen. All values with ei?{\display style \mathrm {e} Varphi }}} bildet den Kreis der Komplexzahlen mit dem Wert 1{\displaystyle 1}, diese Zahlen werden auch unimodulär bezeichnet und formen die Kreistabelle. Daß die Vervielfachung komplexer Zahlen (außer Null) den Rotationserweiterungen entsprechen, läßt sich rechnerisch wie folgt wiedergeben::

The multiplicative group C×{\displaystyle \mathbb {C} ^{\mal }} der Komplexzahlen ohne die Null kann als Direktprodukt der Rotationengruppe, der Kreizingruppe und der Dehnungen um einen ungleichen Wert bis Null parametrisiert werden, die Multiplikatorengruppe R+{\displaystyle \mathbb {R} Die erste ist mit dem Hilfsargument ?{\displaystyle i\varphi } parametrierbar, die zweite nur mit den Mengen.

Wenn Sie das Zeichen des imaginären Teils b{\displaystyle b} einer reellen Nummer z=a+bi ändern, {\displaystyle z=a+b\, \mathrm {i} {i} \m {i} Sie erhalten die reale Nummer in Konjugation mit z{\displaystyle z} z¯=a-bi{\displaystyle {\\bar {z}}=a-b\, \mathrm {i} U} }. Bei der polaren Darstellung hat die konjugierte komplexe Zahl beispielsweise z¯{\displaystyle {\bar {z}}}} nur den positiven Blickwinkel von z. {\displaystyle z. }}

Daher kann man die konjugierte Fläche in der Ebene der Realzahlen als die Reflexion auf der realen Ebene deuten. Vor allem unter Verwendung von Konjugationen werden exakt die realen Zahlen auf sich selbst gemappt. Die Produkte einer Komplexzahl z=a+bi{\displaystyle z=a+b\,\mathrm {i} } und ihrer vielschichtigen Konjugierung z¯{\displaystyle {\bar {z}}} geben das Feld ihrer Menge wieder: Die Komplexzahlen sind damit ein banales Beispiel für eine C*-Algebra.

Das Summieren einer realen Anzahl z=a+bi{\displaystyle z=a+b\, \mathrm {i} } und seiner komplizierten Konjugation z¯{\displaystyle {\bar {z}}} gibt das Zweifache seines Realteils: Der Unterschied zwischen einer realen Anzahl z=a+bi{\displaystyle z=a+b\, \mathrm {i} } und ihrer komplizierten Konjugation z¯{\displaystyle {\bar {z}}} ist das Doppelte ihres Imaginärteils: zu bestimmen. In der obigen Abbildung steht a für den realen Teil und b für den imaginären Teil dieser komplexen Zahlen.

Folgende Operatoren müssen durch Rechenoperationen verknüpft werden: Bei der Vervielfachung werden die Mengen r{\displaystyle r} und s{\displaystyle s} mit einander vervielfacht und die entsprechenden Phasensätze ?{\displaystyle \varphi } und ?{\displaystyle med. qu. m. b. } hinzugefügt. Auch für die Addierung und Abziehung gibt es eine komplexere Formel: Das Multiplikat zweier komplexer Zahlen korrespondiert mit dem Hinzufügen der Ecken und dem Multiplikat der Mengen.

Das Teilen von zwei komplizierten Zahlen korrespondiert mit dem Abziehen der Blickwinkel und dem Teilen der Summen. Zur Arithmetik des dritten Schrittes gehört Powering, Root Extraction (Root Extraction) und Logarithmetic. Dabei steht ln(z){\displaystyle \ln(z)} für den Grundwert des logarithmischen Komplexes (siehe unten), so dass die Berechnungsformel auch einen Grundwert gibt. In der Tasche ??Z{\displaystyle \omega \in \mathbb {Z}

Alle möglichen Resultate sind jedoch mit diesem Grundwert vereinbar und die Funktionalität wird unmissverständlich. With w{\displaystyle w} any number wanne x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y º. Daher wird mit den wichtigsten Größen gearbeitet, d.h. mit Größen eines gewissen Bandes der Komplexitätsebene. Dabei ist Arg (z){\displaystyle \operatorname {Arg} (z)} der wichtigste Wert für das Argument von. z.

Der Zusammenschluss aller finiten Subgruppen ist eine Gruppierung, die zur Verdrehung Q/Z{\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} gehört. Sie steht in ihrer Vollendung, der bereits genannten Kreigruppe, die auch als 1-Kugel und zu R/Z{\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} verstanden werden kann, nahe. Hier wird bewiesen, dass in der Tat ein Body C{\displaystyle \mathbb {C}

die die in der vorstehend genannten Begriffsbestimmung erforderlichen Merkmale erfüllt. Unterschiedliche Konstrukte sind möglich, die jedoch bis auf den Isomorphismus zum gleichen Korpus führt. def. defin. Danach schreiben wir C=R2{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R}. ^{2}}, und (C,+,?){\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\cdot )} wird ein Body, der Body von complex numbers.

Betreffend die Ergänzung ist: Betreffend die Vervielfachung ist: Durch i:=(0,1){\displaystyle \mathrm {i}:=(0,1)} wird die gedachte Maßeinheit bestimmt; für diese i2=(-1,0){\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=(-1,0)} ist gültig, was -1?R{\displaystyle -1\in \mathbb {R} nach der oben genannten eingebetteten Stelle ist. korrespondiert. mit einem, b?R{\displaystyle a, \in \mathbb {R} Dies ist die gebräuchliche Notation für die Komplexzahlen. des Polynomrings in einem undefinierten Zustand über den realen Zahlen.

Der Zahlenwert i{\displaystyle \mathrm {i} {i} ergibt sich aus dem Abbild des unbekannten X{\displaystyle X}, die realen Zahlen werden mit den Konstantpolynomen indentifiziert. Diese Konstruktionsweise ist auch in anderen Kontexten einsetzbar, man redet von Verbindung und formt auch ein Muster aus vielschichtigen Zahlen. Die reale Maßeinheit 1{\displaystyle 1} oder die gedachte Maßeinheit i{\displaystyle \mathrm {i} wird durch die Maßeinheitsmatrix E{\displaystyle E} oder die Matrix I{\displaystyle I} wiedergegeben.

Deshalb ist diese Gruppe ein Subraum des Vektorraumes der realen 2×2{\displaystyle 2\times 2} Matrix. Das lineare Mapping der Matrix ist, wenn a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b} nicht beide Null sind, Rotationsdehnungen im Bereich R2{\displaystyle \mathbb {R} Dies sind exakt die gleichen Rotationsdehnungen wie bei der Auswertung der Vervielfachung mit einer Komplexionszahl a+bi{\displaystyle a+b\mathrm {i} } in der Gaußzahlebene.

Die Mathematik hat aber nicht vor der nächsten und unbestreitbaren Schlussfolgerung Halt gemacht, dass diese Form der Gleichung nicht gelöst werden kann, sondern immer eine Antwort war: Seit der Hälfte des XVII. Jh. hat sich der Begriff der imaginären Zahlen etabliert, der von René Descartes abstammt, der in seiner La Géometrie (1637) so die Problematik des Verstehens von komplexen Zahlen aussprach.

Im XVII. Jh. machte John Wallis seine ersten Schritte zu einer geometrischen Auslegung von komplexen Zahlen. 4] Die Vorstellung der gedachten Maßeinheit i{\displaystyle \mathrm {i} } als neue Nummer wird Leonhard Ellers zugeordnet. Durch die Arithmetik mit imaginären Zahlen gelang es ihm, neue Einsichten zu gewinnen, so publizierte er beispielsweise in seiner Einleitung zur Analyse die Eulerformel 1748 und publizierte zum ersten Mal ausdrücklich die Formulierung von Abraham de Moivre (Ende des XVII. Jh., der sie seinerseits von Isaac Newton[5] erhielt), aber auch noch immer hatte er große Probleme, komplexe Zahlen zu verstehen und zu klassifizieren, obwohl er damit regelmäßig umging.

Augustin-Louis Cauchy wird als Gründer der Komplexanalyse in einer 1814 bei der Französichen Akademien vorgelegten Studie über die Einbindung in Komplexe angesehen, die jedoch erst 1825 publiziert wurde. Im Jahr 1821 definiert er in seinem Fachbuch Kurse d'Analyse einer funktionellen einer complexen Variable in der complexen Zahl Ebene und bewährte viele fundamentale Aussagen der Funktionstheorie.

Aufgrund der einfachen Begriffsbestimmung, der bereits erklärten Bedeutungen und Anwendungsmöglichkeiten in vielen wissenschaftlichen Bereichen liegen die realen Zahlen den realen Zahlen in nichts nach. Das Konzept der "imaginären" Zahlen im Sinn von imaginären oder irrealen Zahlen hat sich somit im Lauf der Zeit zu einem verzerrten, aber beharrten Term ausgeweitet.

In der Physik spielt die komplexe Zahl eine wichtige Funktion. Im Rahmen der Quantummechanik wird der Status eines physischen Gleichgewichtssystems als Bestandteil eines (projektiven) Hilberspace über die reellen Zahlen verstanden. Zur Bestimmung von differentiellen Operatoren in der Schrödinger-Gleichung und der klein-gordonischen Gleichung werden komplexe Zahlen verwendet. Die Dirac-Gleichung erfordert eine Erweiterung des Zahlenbereichs der Komplexzahlen, der Quarton.

Komplexen Zahlen kommt in den Bereichen Mechanik und Technologie als Berechnungshilfe eine bedeutende Bedeutung zu. Vor allem die Bearbeitung von Differenzialgleichungen für Schwingungsprozesse kann vereinfacht werden, da die komplexen Zusammenhänge im Zusammenspiel mit Erzeugnissen der Sinus- und Cosinusfunktionen durch Erzeugnisse der exponentiellen Funktionen ersetzt werden können, wodurch nur die exponentiellen Funktionen hinzugefügt werden müssen.

In der aufwändigen Wechselstromberechnung werden z. B. passende Bildteile in die realen Leistungsgleichungen eingefügt, die dann bei der Bewertung der Berechnungsergebnisse wieder ausgelassen werden. So werden in der Zwischenberechnung die harmonischen Oszillationen (real) zu kreisförmigen Bewegungen in der Komplexebene komplettiert, die mehr Gleichmäßigkeit und damit eine einfachere Handhabung haben.

Die brechende und absorbierende Wirkung einer Verbindung wird in der optischen Technik in einer komplizierten, wellenlängenabhängigen Brechzahl (Dielektrizitätszahl) oder einem komplizierten Brechungsindex zusammengefaßt, der seinerseits der elektrischen Anfälligkeit zugeordnet wird. Die Strömungsdynamik verwendet komplexe Zahlen, um Potentialströme in der Fläche zu erläutern und zu interpretieren. Eine komplexe Funktionalität eines komplexen Beweises repräsentiert immer eine Ebenenpotentialströmung - die Geometrie position korrespondiert mit dem komplexen Beweis in der Gauß' schen Ziffernebene, dem Strömungspotential zum realen Teil der Funktionalität und den Stromlinien zur Isolinie des imaginären Teils der Funktionalität mit invertiertem Zeichen.

Die Vektorfelder der Fließgeschwindigkeit entsprechen der konjugierten komplexeren ersten Ableitung für die Funktionen. Diese Strömungsmuster können durch konformes Mapping verzerrt werden - das komplexe Element wird durch eine funktionale Komponente des komplizierten Elements mitverwandelt. Im Bereich der Elektrik ist die Repräsentation von Elektrogrößen mit einfachen Zahlen weit verbreitet. Die Repräsentation einer Sinuswechselspannung als komplexe Größenordnung und die zugehörigen Repräsentation für Widerstand, Kondensator und Spule vereinfacht die Berechnung des Stroms, der Wirkleistung und der Blindleistung in einem Stromkreis.

Das Zusammenspiel mehrerer unterschiedlicher Sinusspannungen und Sinusströme, die zu verschiedenen Zeiten ihren Nulldurchgang haben können, kann auch in komplizierten Berechnungen leicht dargestellt werden. Detailliertere Informationen zu diesem Themenbereich finden Sie im Beitrag zur aufwändigen Wechselstromberechnung. Seit einigen Jahren ist die elektronische Signalleitung, deren Grundlage die Berechnung reiner Zahlen ist, von großer Ausstrahlung.

Die Struktur der Komplexzahlen ist die mathematische Schlussfolgerung der Struktur der Realzahlen. Zahlreiche spektraltheoretische Erkenntnisse sind für komplexe Vectorräume in höherem Maße gültig als für reale. Komplexe Zahlen kommen beispielsweise als eigenständige Werte von realen Matrixen vor (dann zusammen mit dem konjugierten komplexeren Eigenwert). Dies wird dadurch erklärbar, dass das typische Vieleck der Matrize, bedingt durch die mathematische Isolation von C{\displaystyle \mathbb {C}

über die Komplexzahlen hinweg immer in lineare Faktoren abfällt. Auf der anderen Seite gibt es reale Grundmatrizen ohne reale Eigenwerte, während das Frequenzspektrum jedes eingeschränkten Betreibers auf einem komplizierten (mindestens eindimensionalen) Banach-Raum nie ausreicht. 11] In der spektraltheoretischen Theorie der Hilbert-Räume können Aussagen, die im realen Falle nur für selbst angepasste Betreiber zutreffen, im komplizierten Falle oft auf Normalbetreiber umgestellt werden.

Aber auch in anderen Bereichen der Funktionsanalyse spielt die komplexe Zahl eine Sonderstellung. Zum Beispiel wird die Lehre von Algebren C* hauptsächlich in Komplexe angewendet, während sich die Harmonieanalyse mit der Darstellung von Gruppendarstellungen auf komplexe Hilberträume beschäftigt. Die Untersuchung differenzierter Funktionalitäten auf Untermengen komplexer Zahlen ist das Thema der Funktionstheorie. In vielerlei Hinsicht ist sie rigider als die reale Analytik und erlaubt weniger Krankheiten.

Als Beispiel seien hier die Behauptung, dass jede in einem Bereich unterscheidbare Funktionalität bereits so oft wie gewünscht unterscheidbar ist, oder das Identitätstheorem für Holomorphfunktionen genannt. In der Funktionstheorie können oft Schlüsse auf reine reale Anweisungen gezogen werden, z.B. können mit dem Residualsatz einige Intellektuelle berechnet werden. Eine wichtige Anwendung dieser Verfahren ist die Analysezahlentheorie, die Statements über ganze Zahlen auf Statements über komplexe Funktionalitäten attribuiert, oft in Gestalt der Dirichle-Serie.

Dabei wird die oben genannte Rigidität der Holomorphfunktionen in globalisierten Fragestellungen, d.h. in der Untersuchung komplexer Verteiler, noch deutlicher. Somit gibt es keine nicht-konstanten global halomorphen Funktionalitäten auf einer dichten Komplexmultiplizität; Anweisungen wie Whitneys eingebetteter Theorem sind daher im Komplex unwahr. In geeigneter Weise sind die Komplexitätszahlen auch groß genug, um die Vielschichtigkeit von algebraischen Varianten über beliebige Körper des Merkmals 0 zu fassen (Lefschetzprinzip).

Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen. Bei D. Ebbinghaus et al. (Hrsg.): Zahlen. Springer, 1983: Gauß' sche Zahlen und Eisensteinzahlen sind eine Generalisierung von ganzen Zahlen zu vielschichtigen Zahlen. Hochkomplexe Zahlen generalisieren die algorithmische Gliederung komplexer Zahlen. Komplexe Wertfunktionen ordnen komplexe Zahlen auf komplexe Zahlen zu.

Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-31764-7. Wenn Sie das Zeichen i{\displaystyle \mathrm {i} } verwenden, wird es noch klarer als wenn Sie -1{\displaystyle {\sqrt {-1}}} verwenden, daß bei jedem Auftreten die gleiche Auflösung von i2+1=0{\displaystyle \mathrm {i} ^{2}+1=0} Trotzdem behalten alle mathematischen Anweisungen ihre Gültigkeit, wenn an jeder Stelle i{\displaystyle \mathrm {i} } durch -i{\displaystyle -\mathrm {i} } verdrängt wird.

Bibliografisches Instituts, Mannheim 1970, S. 57-67. ? Remmert: Komplexe Zahlen. Nummern. Springer, Berlin und andere. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 310. Daher kommt es auch, dass es überzählig viele "wilde" Automatismen von C{\displaystyle \mathbb {C} gibt.

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