Lineare Gleichungen

Linienförmige Gleichungen

Die lineare Gleichung ist eine mathematische Bestimmungsgleichung, bei der nur lineare Kombinationen der Unbekannten auftreten. Lösen Sie lineare Gleichungen mit Parametern nach einer Variablen auf. - Problemlösungskompetenz für einfache Textprobleme, die zu linearen Gleichungen führen. In der Mathematik begegnet man oft linearen Gleichungen. Einen Überblick, wie man eine solche Gleichung löst, sollten Sie sich hier verschaffen.

mw-headline" id="Skalare_lineare_Gleichungen">Skalare lineare_Gleichungen[Bearbeiten | < bearbeiten Quellcode]

Der vorliegende Beitrag diskutiert lineare Gleichungen in linearer Algebra; für lineare Gleichungen in analytischer Geometrie s. Geradengleichungen. a?x=b{\displaystyle a\cdot x=b}, T(x)=b{\displaystyle T(x)=b}, worin T{\displaystyle T} ist eine lineare Darstellung. Einheitliche lineare Gleichungen sind besondere lineare Gleichungen, bei denen der gleichbleibende Begriff b{\displaystyle b} der Gleichung Null ist.

Eine homogene lineare Baugleichung bildet einen Subvektorraum des Vektorraumes des Fremden und besitzt damit spezielle Merkmale wie die Validität des Überlagerungsprinzips. Auf der anderen Seite formen die Lösungsansätze einer unhomogenen Lineargleichung einen Affinunterraum, so dass jede Lösungsansätze einer unhomogenen Lineargleichung als Summen der Lösungsansätze der zugehörigen Homogengleichung und einer Partikellösung dargestellt werden können.

Die Lösungsräume einer Lineargleichung können durch den Zellkern und den Kokskern der Linearmapping -Methode gekennzeichnet werden. Lineargleichungen und ihre Lösungsansätze werden vor allem in der Linearalgebra und der Linear-Funktionsanalyse untersucht, aber auch in der Numerik sind sie von Bedeutung. Oft sind die Unwägbarkeiten in Lineargleichungen Skalen (meist reale oder reale Zahlen).

Diese linearen Gleichungen sind dann besondere mathematische Gleichungen des Grades I. können eingebracht werden. Zeitkonstanten, die nicht von x{\displaystyle x} abhängig sind.

In den Fällen b? {\displaystyle b\neq 0} und b? {\displaystyle a=0} hat die Formel keine Ausweg. Bei einem Anzeige-Stil a=0 und einem Anzeige-Stil b=0 gibt es unendliche Möglichkeiten, denn dann genügt jeder x{\Anzeige-Stil x} der Vergleich. erhalten wird, indem beide Parteien durch 3 geteilt werden, so dass nur der bekannte x{\displaystyle x} auf der rechten Hälfte verbleibt: x=243=8{\displaystyle x={\frac {24}{3}}}}=8}. wird für jeden x{\displaystyle x} erfüllet. kann mitgebracht werden, wohin ein{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} und c{\displaystyle c} eine Konstante ist.

Wobei die Lösungsansätze gerade Linien im flächigen Bereich formen, es sei denn, es gelten sowohl die beiden Varianten alphabetisch und alphabetisch nach alphabetisch sortiert b=0{\displaystyle b=0}. Der Lösungsansatz einer solchen Formel wird oft in der Darstellung von Parametern gegeben. Dazu wird die Formel nach einer der Unwissenheiten gelöst, zum Beispiel y{\displaystyle y}, die, wenn b?{\displaystyle b\neq 0}, geschrieben wird. Dadurch wird deutlich, dass die Formel zwar zwei Unwissenheiten beinhaltet, der Lösungsbereich aber nur monodimensional ist, d.h. nur von einem einzigen Paramter t{\displaystyle t} abhängig ist.

Falls a?{\displaystyle a\neq 0}, können Sie die Formel nach x{\displaystyle x} lösen und y{\displaystyle y} als kostenlosen Paramter auswählen. Es sind auch andere Parametrierungen möglich, die aber den gleichen Lösungsansatz beschreiben. f(x)=(12-3?x)/4=-(3/4)?x+3{\displaystyle f(x)=(12-3\cdot x)/4=-(3/4)\cdot x+3}. In der Regel ist die Auflösung einer realen Lineargleichung mit drei Unwägbarkeiten eine Fläche. kann dort hingebracht werden, wo a1,a2,....,an{\displaystyle a_{1}, a_{2}, \dotsc ,a_{n}} und b{\displaystyle b}}

Nur lineare Kombinationen der Unwägbarkeiten dürfen auftauchen. In der Regel sind die Antworten auf solche Gleichungen (n-1){\displaystyle (n-1)}-dimensionale Untermengen ( "Hyperebenen") des dazugehörigen n{\displaystyle-nimensionalem Raum. In der Regel wird die Parameterrepräsentation des Lösungssatzes durch Lösen der Formel nach einem der Unwägbarkeiten erhalten, z.B. xn{\displaystyle x_{n}}, wenn {\displaystyle at error 0}, xn=(b-a1x1-?-an-1xn-1)/an{\displaystyle x_{n}=(b-a_{1}x_{1}-\);

Hier ist auch die Darstellung der Parameter nicht unmissverständlich, man kann die Formel auch nach einer der anderen Unwägbarkeiten lösen, wenn der zugeordnete Faktor nicht gleich Null ist, oder eine andere Parametrierung aussuchen. Andererseits werden ungleiche lineare Gleichungen durch die Triviallösung nie erreicht. ist eine Parallelgerade, die jedoch nicht den Mittelpunkt beinhaltet. siehe auch.

Indem x=0{\displaystyle x=0} und die Überlagerungseigenschaft einbezogen werden, ergeben die Lösungsansätze einer einheitlichen Lineargleichung einen Subvektorraum von {\displaystyle V}. anwendbar. Somit stellen die Lösungsansätze einer ungleichförmigen Lineargleichung einen Affin-Subraum über dem Vectorraum der entsprechenden Homogengleichung dar. trifft zu. dim((ker(T))=dim(V)-rang(T){\displaystyle \mathrm {dim} (\mathrm {ker} (T))=\dim(V)-\mathrm {rang} (T)}.

ring (T){\displaystyle \mathrm {rang} (T)} ist der Rangfolge des Bilds, d.h. die Größe seines Bilds. Dabei ist das Abbild einer Figur die Wertemenge, die T(x){\displaystyle T(x)} für x?V{\displaystyle x\in V} einnehmen kann. \im(coker(T))=dim(W)-rang(T){\displaystyle \mathrm {dim} (\mathrm {coker} (T))=\mathrm {dim} (W)-\mathrm {} (Trang)}. dim( (ker(T))=dim(R3)-dim(R)=3-1=2{\Anzeigestil \mathrm {dim} (\mathrm {ker} (T))=\dim(\mathbb {R} ^{3})-\dim(\mathbb {R} )=3-1=2}.

Damit hat der Lösungsbereich der einheitlichen Geradengleichung T(x)=0{\displaystyle T(x)=0} die Abmessung 2 und ist eine Fläche im 3. umkreis. Der Lösungsbereich der ungleichförmigen Formel T(x)=b{\displaystyle T(x)=b} ist auch hier eine Fläche, denn wenn zum Beispiel a1?{\displaystyle alias 0\neq 0}, hat die Formel die partikuläre Lösung (b/a1,0,0,0){\displaystyle (b/a_{1},0,0)}. Die Hähnchen haben hier die Abmessung 0, so dass die Formel für jedes b{\displaystyle b} löslich ist.

T(x)=0x1+0x2+0x3{\displaystyle T(x)=0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}}, dim(ker(T))=dim(R3)-dim({0})=3-0=3{\displaystyle \mathrm {dim} (\mathrm {ker}) (T))=\dim(\mathbb {R} ^{3})-\dim(\dim(\) Die homogene lineare Baugleichung ergibt somit als Lösungsbereich den gesamten dreidimensionalen Teilraum. Die Lösungsräume der ungleichförmigen Formel sind in diesem Falle frei, da die Formel nur für b=0{\displaystyle b=0} eine Antwort hat. Diese können dann durch Kombinieren der Ergebnisse der homogenen Gleichung mit einer partikulären Analyse, die mit dem fortschrittlichen äuklidischen Verfahren zu finden ist, gegeben werden. mit der rechten Spalte b?Rm{\displaystil b\in \mathbb {R}}

^{n}}, das nur ein linearer Gleichungsvorgang ist. Auf diese Weise wird durch die Kombination mehrerer skalarer linearer Gleichungen mit einem oder mehreren Unwissenden ein linearer Gleichungsmechanismus zu einer Gesamteinheit geschaffen. Der Lösungssatz eines linienförmigen Gleichungssystems ist dann der Schnittpunkt der Lösungsansätze der Einzelgleichungen. Eine lineare Gleichung kann gelöst werden, wenn der Wert der Koeffizientenmatrix A{\displaystyle A} gleich dem Wert der verlängerten Koeffizientenmatrix (Ab){\displaystyle (A\;b)} ist.

So können z. B. lineare Gleichungen mit der Gaußsche Eliminierungsmethode aufgelöst werden. Bei einer Differenzgleichung richtet sich die Auflösung nach den Anfangswerten x0,....,xk-1{\displaystyle x_{0},\dotsc ,x_{k-1}} und ist dann einmalig aus. Lineardifferenzgleichungen können ausdrücklich dadurch aufgelöst werden, dass die mittels der Kenngleichung gefundene Auflösung der Homogengleichung mit einer Partikellösung kombiniert wird.

Die rechte Hälfte von g{\displaystyle g} kann von x{\displaystyle x} abhängig sein, nicht aber von der durchsuchten Funktionalität f{\displaystyle f} und ihren Derivaten f?,....,f(n){\displaystyle f',\dotsc \dotsc ,f^{(n)}}. Handelt es sich bei f{\displaystyle f} um eine vektoriell bewertete Funktionalität, wird von einem linienförmigen Differenzialgleichungssystem gesprochen. Das Vorhandensein und die Einzigartigkeit der Auflösung von gewöhnlichen Differenzgleichungen erster Ordnung ergibt den Lehrsatz von Picard-Lindelöf .

Der generelle Lösungsansatz der Homogengleichung kann durch das entsprechende Grundsystem gegeben werden, eine partikuläre Auflösung kann z.B. durch die Veränderung der Festwerte erreicht werden. Um die Auflösung einer Teillichtgleichung unmissverständlich bestimmen zu können, müssen Anfangs- und/oder Grenzbedingungen festgelegt werden. Für die Auflösung von linearen teilweisen Differenzialgleichungen gibt es unterschiedliche Lösungsansätze, z.B. grundlegende Lösungen, die Art der Eigenschaften oder den Trennungsansatz.

Beispiel für andere lineare Gleichungen mit bekannten Funktionalitäten sind: Hans-Wilhelm Alt: Lineare Funktionsanalyse. Albert Beutelspacher: Lineare Algebra. Springerverlag, 2010, ISBN 3-540-76490-9 Gerd Fischer: Lineare Algebra. Herausgeberin: Vietnam, 2009, ISBN 3-8348-0996-9 Günter Gramlich: Lineare Algebra. Ellipsische (und parabolische) Gleichungen. Springerverlag, 2009, ISBN 3-540-64222-6 M.I. Voitsekhovskii: Lineare Gleichung.

Erik W. Weisstein: Lineare Gleichung.

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