Logarithmus

Rundholz

Der Logarithmus (Plural: Logarithmen) ist in diesem Kapitel untersucht. Die Logarithmen richtig verwenden? Welche Bedeutung hat der Logarithmus und wie genau wird er geschrieben?

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Diagramm der Logarithmalfunktion zur Base 2 (grün), Logarithmus (Plural: Logarithmus; aus dem Altgriechischen ????? ligos, "Verständnis, Unterweisung, Verhältnis" und wwww. com, arithmos, "Zahl") einer Nummer ist der Exponent, mit dem eine vorgegebene Anzahl, die Base, exponiert werden muss, um die vorgegebene Anzahl zu erhalten.} Die Logik ist nur für die positiven reellen Werte festgelegt, die Grundlage muss ebenfalls negativ sein.

Die Logarithmus einer positive reelle Anzahl x{\displaystyle x} zur Base b{\displaystyle b} ist also der Exponentenwert, wenn x{\displaystyle x} als Power zur Base b{\displaystyle b} repräsentiert wird, d.h. die Anzahl y{\displaystyle y}, welche die Beziehung durch=x{displaystyle b^{y}=x} auflöst. Die Logarithmisierung, d.h. der Wechsel von x{\displaystyle x} zu logb(x){\displaystyle \log _{b}(x)}, ist somit eine umgekehrte Operation der Potenzierung.

Dies ist die Aufgabe derjenigen, die jedem Positivwert mit einer bestimmten festen Base b{\displaystyle b} ihren Logarithmus zuweist, die logarithmische Funktionalität der Base b{\displaystyle b} genannt. Durch die Verwendung von logarithmischen Verfahren können deutlich wachstums- tende Ziffernfolgen dargestellt werden, da der Logarithmus bei großen Ziffern viel geringer ansteigt als die Nummern selbst. Man kann eine Vervielfachung durch Logarithmisierung durch die viel weniger rechenaufwändige Hinzufügung auflösen. Dies wird durch die Formel logb(logb(x)+logb(y){\displaystyle \log _{b}(x\cdot y)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)} dargestellt.

Darüber hinaus beschreibt die Logarithmus viele technologische Vorgänge und Naturerscheinungen rechnerisch elegant, wie z.B. das Funktionieren einer Halbleiterdiode, die Schneckenhausspirale oder die Wahrnehmbarkeit verschiedener Volumen durch das Menschenohr. Die Bezeichnung Logarithmus wurde von John Napier Anfang des XVII. Jahrhunderts prägend verwendet. Der Natural Logarithmus (siehe unten) wird zu Napier' Gedenken auch als Napian Logarithmus oder Nepisher Logarithmus bezeichnet.

Der Einsatz des Logarithmus kann bis in die indianische Frühzeit zurückverfolgt werden. Der Logarithmus wurde mit dem Aufstieg des Bankwesens und dem Vormarsch der Sternenhimmel im Europa des XVII. Jh. immer wichtiger. Ihre funktionalen Werte wurden in Tabellen, den logarithmischen Tabellen, festgehalten, um sie nachzuschlagen und nicht immer umzuberechnen.

Zentrales Leben kann mit einem Logarithmus beschrieben werden. Beispielsweise steigt die Intensität eines sensorischen Eindrucks in Abhängikeit von einer physischen Größenordnung wie z. B. Licht oder Volumen nach dem Ablauf einer logarithmischen Funktion. Das Gleiche trifft auf die wahrnehmbare Neigung als Funktion der Häufigkeit eines Tons zu, was es ermöglicht, eine Vervielfachung durch eine Addierung zu druecken. auf bestimmte Mengen a{\displaystyle a} und b{\displaystyle b}.

Zum Beispiel ist der Logarithmus von 8 bis 2 gleich 3, beschrieben log28=3{\displaystyle \log _{2}8=3}, weil es 23=8{\displaystyle 2^{3}=8} ist. Wenn die oben genannte Formel durch b{\displaystyle b} anstelle von x{\displaystyle x} gelöst werden soll, wird die Auflösung durch die x{\displaystyle x}th root of a{\displaystyle a} bestimmt. Die bekannteste und am meisten verbreitete ist der Logarithmus über den negativen Realzahlen, der im Nachfolgenden hauptsächlich wiedergegeben wird.

Die indischen Mathematiker im zweiten Jh. v. Chr. waren die ersten, die logarithmischen Funktionen erwähnten. Bereits im Altertum verwendeten sie für ihre Kalkulationen die Logarithmus als Grundlage für die Berechnung. In den Basen 3 und 3 beschreibt der Inder Virasena im achten Jh. die Logik, ab dem dreizehnten Jh. erstellen arabische Mediziner komplette mathematische Tabellen.

Neben den trimonometrischen Summenformeln steht zu Anfang der Logikentwicklung die Reduzierung von Multiplikation zu Additiv. Der schweizerische Uhrenhersteller Joost BÜRGI ( "1552-1632") entwickelt im XVII. Jh. ein neuartiges Berechnungssystem für die Logarithmus, das er 1620 nach langwieriger Tätigkeit veröffentlicht. Doch noch davor, 1614, publizierte der Schotte John Napier ein Werk über die Logarithmus.

3), was ihn als "Erfinder der Logarithmen" bekannt machte. Allerdings bauten die beiden Unternehmen ihre Arbeit und ihre Ergebnisse zu logarithmischen Verfahren selbstständig aus. "Die Entwicklung von logarithmischen Modellen, die den Zeitaufwand für Berechnungen von wenigen Monate auf wenige Tage reduzieren, führt zu einer fast doppelten Lebensdauer der Sternen. "Durch die Verkürzung der Rechenzeit von wenigen Monate auf wenige Tage hat die Entwicklung von logarithmischen Modellen die Lebensdauer eines Sterns quasi vervielfacht.

"Wenn die Euler-Nummer zum E-Display-Stil wird. Der Logarithmus - der 1728 von Leonhard Euler (1707-1783) festgelegt und 1742 zum ersten Mal publiziert wurde - ist die Ausgangsbasis des Logarithmus, so dass er als natürlicher Logarithmus bezeichnet wird. Die Abkürzung für den logarithmischen Verlauf lautet "ln". Der Logarithmus legte die mathematischen Grundlagen für die weitere Entwicklung des technischen Schiebeschlittens, da die Funktionalität des Schiebeschlittens auf dem Grundsatz der Hinzufügung und Herabsetzung von Logarithmus aufbaut.

Die Anwendung des Logarithmus findet sich in der Naturwissenschaft oft dann, wenn der Wertbereich viele Zehntel der Größenordnung abdeckt. Die Darstellung der Messwerte erfolgt entweder mit einer grafischen Skalierung oder es werden grafisch festgelegte Messgrößen wie der pH-Wert oder die Sensitivität der Sensororgane herangezogen. Es gibt in der lebendigen Wildnis unzählige Exemplare von Logarithmen, wie z.B. das Wachsen von Schneckengehäusen oder die Anbringung von Samen auf der Sommerblume.

Die Schallintensität wird als Logarithmusmaß herangezogen, um die Intensität eines Schallevents zu beschreiben. Hinweis: In der chemischen Industrie werden die logarithmischen Maßstäbe im Allgemeinen durch ein Präfix p (für Leistung) identifiziert, z.B. den pKs oder vKb-Wert.

Die Sternenhelligkeiten werden in astrologischen Grössenklassen dargestellt, die ein Logarithmusmaß für die tatsächliche Strahlungsintensität darstellen. Vor der Verfügbarkeit elektronischer Berechnungsmaschinen wurden logarithmische Gesetze verwendet, um die Multiplikation von Summen und Teilungen von Summen zu erleichtern. Das Berechnen der Quadratwurzel wird auf der Höhe des Logarithmus zu einer Teilung durch zwei erleichtert.

Aufgrund der Tatsache, dass der Logarithmus selbst nicht so einfach zu errechnen ist, waren Schieberegler mit ihren orthogonalen Skalenteilungen und Logarithmus-Tabellen weitverbreitet. Durch die umgekehrte Funktion des Logarithmus - die exponentielle Funktion - können typischerweise Aufgaben in Wachstums- und Abbauprozessen abgebildet werden. Berechung der Stellenzahl, die erforderlich ist, um eine natürliche Zahl in einem Ortswertsystem darzustellen.

Zur Darstellung einer natürlichen Nummer n{\displaystyle n} für die Grundfläche b{\displaystyle b} sind 1+?logb?{\displaystyle 1+\lfloor \log _{b}n\rfloor } Jobs erforderlich. Mit den eckigen Halterungen wird auf die nächsthöhere ganze Ziffer abgerundet, die kleiner oder gleich ist. Eine logarithmische Aufteilung der Zahlenziffern in empathischen Datenbeständen, z.B. deren erste Ziffer, erfolgt nach dem Benford'schen Gesetzes.

Die Berechnung des diskreten Logarithmus ist in finiten Körper und darauf definierte elliptische Verläufe viel komplexer als seine inverse Funktion, die separate exponentielle Funktion. Die logarithmischen zeitlichen Skalen sind sowohl in der Technikgeschichte als auch in der Geologie zu sehen. In der gleichen Stimmung wie das Piano haben in der Regel eine exponentielle Frequenzkurve, der Einzelhalbton korrespondiert mit dem Quotienten 212?f{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}}\cdot f}, die Oktve 2?f{\displaystyle 2\cdot f}, aber das Ohr nimmt dies als geradlinig wahr, also nimmt es den Logarithmus der aktuellen Resonanzfrequenz wahr.

In der Regel wird für die Ziffern vor dem Dezimalpunkt des Logarithmus der Ausdruck Merkmal (manchmal auch eine Indexzahl) benutzt, seine Ziffern nach dem Dezimalpunkt heißen mantissa. ist herstellerunabhängig für den Logarithmus zur Grundfläche 10, zur Grundfläche 10 oder e. Das generelle Vorzeichen für den Logarithmus nach DIN 1302. Seltener gibt es auch davon abgewichene Rechtschreibweisen, wie zum Beispiel bloga{\displaystyle {}_{b}\,\!

Der Zeichensatz log{\displaystyle \log ohne eine bestimmte Grundlage wird benutzt, wenn die verwendete Grundlage irrelevant ist, wenn sie separat abgestimmt wird, wenn sie aus dem Kontext hervorgeht oder wenn sie durch Konventionen definiert ist. Für technische Applikationen (wie die meisten Taschenrechner) steht log{\displaystyle \log \log uh oft für den dekadalen Logarithmus.

Im Rahmen theoretischer Traktate, vor allem zu zahlenstheoretischen Fragestellungen, steht log{\displaystyle \log uhlog} oft für den naturgegebenen Logarithmus. Der Logarithmus in der DIN 1302 hat darüber hinaus je nach Anwendungsfall eine besondere Schreibweise: Der natürliche Logarithmus (lateinischer Logarithmus naturalis), der Logarithmus zur Base e{\displaystyle \mathrm {e} Die Euler-Nummer 2.718282818.... wird in Verbindung mit exponentiellen Funktionen eingesetzt.

Dekadaler Logarithmus, auch Briggs' Logarithmus oder Zimmerlogarithmus genannt, der Logarithmus zur Base 11, wird für numerische Berechnungen im dezimalen System eingesetzt. Der binäre Logarithmus, auch Zwei-Logarithmus genannt, der Logarithmus für die Base 1, wird in der Computerwissenschaft für Berechnungen im binären System eingesetzt. Abgesehen vom Standard wird lda{\displaystyle \operatorname {ld} a} - logarithmus dualis- auch mit der gleichen Bedeutungsgebung benutzt.

Allerdings ist diese Funktionalität keine logarithmische ist. Den Logarithmus kann man immer als eine Reihe von mathematischen Merkmalen (deren Parametern b{\displaystyle b} zugeordnet sind) von R+?R{\displaystyle \mathbb {R} bezeichnen. Deren individuelle logarithmische Fähigkeiten sind nur unterschiedlich (real, aber nicht gleich Null) Multiplikatoren der anderen. Es kann auf verschiedenen Wegen über die guten Realzahlen eingebracht werden.

Dabei werden die unterschiedlichen Ausprägungen des realen Logarithmus gleichwertig und unter besonderer Berücksichtigung des naturgegebenen Logarithmus vorgenommen, der aus mathematischer Perspektive auf natürlichem Wege entsteht, wie man im Zugriff über die Wurzelfunktion von 1t{\displaystyle {\tfrac {1}{t}}} sehen kann. Die Logarithmus zur Base b{\displaystyle b} ist die umgekehrte Funktion der allgemeinen exponentiellen Funktion zur aktiven Base b{\displaystyle b}:

Dabei sind die beiden Funktionalitäten bx{\displaystyle b^{x}} und logbx{\displaystyle \log _{b}x} inverse Funktionalitäten zueinander, d.h. Logarithmen machen Exponenten ungeschehen und umgekehrt: Eulers Nummer ist. Nachfrage und würde den logarithmischen Verlauf wieder einbeziehen. In der obigen Funktionsgleichung ist die Triviallösung die 0-Funktion L(x)=0{\displaystyle L(x)=0}, die nicht als logarithmische Funktion gilt, und die einzigste in der Funktionsgleichung, für die L(0){\displaystyle L(0)} ebenfalls in der Definition ist.

Basierend auf der obigen Funktionsgleichung übermittelt der Logarithmus vor allem eine strukturell erhaltende Zuordnung der aktiven Realzahlen mit ihrer multiplizierenden Gliederung auf die gesamte reelle Zahl mit ihrer additiven Gliederung. Sowohl der mathematische Ansatz als auch der Ansatz über die Funktionsgleichung betonen die geschichtliche Relevanz des Logarithmus als Rechenhilfe: Er erlaubt es, eine Vervielfachung in eine Ergänzung "umzuwandeln". Mit t>0{\displaystyle t>0} ist genau der naturgemäße Logarithmus: Es ist L=ln{\displaystyle S=\ln. }.

Der Logarithmus mit der Grundlage b{\displaystyle b} wird durch Teilen der Funktionalität L{\displaystyle L} durch die Konstante L(b)=lnb{\displaystyle L (b)=\ln b} errechnet. Gilt als unzulässiges integrales Element von f{\displaystyle f} oder als beliebige (positive) untere Integrationsgrenze, so erhält man nur eine weitere, additivierte Konstante, aber immer nur den Logarithmus zur Base e{\displaystyle \mathrm {e}.

Nachfolgend wird immer davon ausgegangen, dass die Größen x,y,xi,xi,r,a,b{\displaystyle x,y,x_{i},r,a,b} unterschiedlich von Null sind; im Fall des realen Logarithmus werden die Werte gar als positive angenommen.

Auch die Grundlagen a,b{\displaystyle a,b} des Logarithmus dürfen nicht 1 sein. verfügbar; oder allgemeiner: oder Der Logarithmus eines Produktes ist die Gesamtheit der Logarithmus der Faktoren. angezeig. Die Logarithmus eines Quotens ist die Logarithmus des Counters x{\displaystyle x} minus die Logarithmus des Nennwertes y{\displaystyle y}. Vor allem ( "log1=0{\displaystyle \log 1=0}): Generell resultiert das Wechselseitigkeitsgesetz unmittelbar aus der oben genannten Quotientenregel: Aus der Produktformel kann eine Logikformel aus Additionen (und Unterschieden) wie x+y{\displaystyle x+y} abgeleitet werden, indem x{\displaystyle x} ausgeschlossen wird:

Der Logarithmus einer Leistung ist also das Ergebnis des Faktors mit dem Logarithmus der Base. determine. Die Logarithmus eines Stammumbruchs 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}} ist die negativer Logarithmus des Nennwerts x{\displaystyle x}. Dies zeigt, dass sich logarithmische Größen für verschiedene Grundlagen nur um einen gleichbleibenden Wert von einander abheben.

Viele Tabellenkalkulationen liefern logarithmische Werte nur für die Base 10, Rechner liefern auch logarithmische Werte für die Base e (den naturbelassenen Logarithmus). Die obige Gleichung kann verwendet werden, um logarithmische Werte für jede beliebige Base zu errechnen. Eine prominente Besonderheit, die sich aus der obigen Gleichung ergeben hat, ist: In den realen Werten ist der Logarithmus für kraftschlüssige Werte, d.h. Null und Negativwerte, nicht festgelegt.

Bei der Funktionstheorie, in der Funktionalitäten komplexer Größen berücksichtigt werden, kann der Logarithmus auch für Negativzahlen definiert werden (siehe Komplexer Logarithmus), aber dann entfallen einige der Berechnungsregeln. Bei allgemeinen Logarithmen: wo für positive x{\displaystyle x} (d.h. wenn t=0{\displaystyle t=0} über den Pole eingebunden ist) ist der Grundwert des Intellekt. zu übernehmen.

Die unendliche Ganzheit des natÃ?rlichen Logarithmus wird durch teilweise Integrierung erhalten: Wenn eine der Begrenzungen eines gewissen Integrals des natÃ?rlichen Logarithmus Null ist, kann die Herangehensweise von de l'Hospital angewandt werden. Erster Ableitungsschritt: Der Logarithmus zur Base e{\displaystyle \mathrm {e} Die Eulerzahl wird auch als natuerlicher Logarithmus oder Logbuchstabierung ( "ln" oder oft auch "log" ohne Index) abgekürzt: Die Nummer e{\displaystyle \mathrm {e}

Bei der Herleitung nach x{\displaystyle x}, als eine Formeln, stellt sich ^{x}} wieder dar: Die Bezeichnung natural logarithm wurde verwendet, weil sowohl die exponentielle Funktion als auch der Logarithmus auf e{\displaystyle \mathrm {e} basieren. In vielen Kontexten (Integralrechnung, Differenzialrechnung, Komplexitätsrechnung, Trigonometrie) treten sie natürlich ohne vorherige Faktoren auf. Vor allem der naturgegebene Logarithmus kann leicht integriert und differenziert werden.

Die logarithmische Naturform ln{\displaystyle \ln } ist eine Wurzelfunktion der reziproken Funktion fÃ\displaystyle f} mit f(x)=x-1=1x{\displaystyle f} mit f (x)=x^{-1}={\tfrac {1}{x}}}}}, d.h. exakt die mit F(1)=0{\displaystyle style F(1)=0}. Das Ausrechnen eines Logarithmus ist im Prinzip aufwendig. Derartige iterative arithmetische Operationen eignen sich sehr gut, um mit einem Rechner oder Rechner, bei dem nur eine einzige Tastenbetätigung (falls auf dem Laufwerk vorhanden) erforderlich ist, automatisiert durchgeführt zu werden, um den Logarithmus der eingetragenen Nummer auf einer festen Grundlage (normalerweise die Eulerzahl e (2.718....) oder die Nummer 10) zu errechnen.

Nachfolgend finden Sie Berechnungsbeispiele, die nur für die Kalkulation des Logarithmus einer beliebig großen Anzahl zur Grundlage e (natürlicher Logarithmus) oder 2 sind. Entdeckte Seriendarstellung des naturbelassenen Logarithmus; die Serie verschmilzt nur im ungeschlüpften Teil. Mit der Auswahl einer passenden Ganzzahl m{\displaystyle m} kann man immer erreicht werden, dass 12?-mx?{\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}}} und damit die Annäherungsgeschwindigkeit der Serie, die nun für 2-mx{\displaystyle 2^{-m}x} errechnet ist.

Solch eine Umwandlung in ein Intervall[1b,b]{\displaystyle {\big [}{\tfrac {1}{b}},b{\big \big ]} durch Skalieren von x{\displaystyle x} mit b2m{\displaystyle b^{2m}}} ist auch für andere Größen des b{\displaystyle b} möglich, aufgrund der besonders einfachen Bedienung der 2 in Binärform darstellenden Nummern wird ein anderer Faktormer jedoch nur sehr schwer eingesetzt. Durch eine additive Auflösung des Logarithmus auf der Grundlage einer Faktordarstellung in rationelle Größen kann eine schnelle zusammenhängende Reihe für lnn{\displaystyle \ln n} gegeben werden, vergleichbar mit den arktischen Zerlegungen für die Kalkulation von wwww. ydisplaystyle \pi }, die rationelle Annäherungsversuche an eine beliebige Messgenauigkeit geben.

Durch den Anzeigestil a_{n}=b_{n}x_{n}}} und xn?{\displaystyle x_{n}\rightarrow 1} sind die beiden Grenzen gleich: Für eine praxisnahe Kalkulation von ln x{\displaystyle x} sind diese Grenzen jedoch aufgrund des eintretenden Auslöschens nicht gut angepasst. Ein weiterer Weg, den Logarithmus zu berechnen, ist, die Zahlen der binären Darstellung des Logarithmus zur Base 2 hintereinander zu ermitteln.

Zuerst werden die Ziffern vor dem Dezimalpunkt des Logarithmus durch Zählen der Ziffern vor dem Dezimalpunkt der Ziffer x{\displaystyle x} ermittelt (immer im dualen System) und x{\displaystyle x} wird durch Verschieben auf einen Wert zwischen 1 und 2 normalisiert. Das Quadrat x{\displaystyle x} verschiebt also den Logarithmus eine binäre Stelle nach links und macht die ganze Stelle eventuell eins. Dabei wird der x{\displaystyle x} durch Teilen durch 2 wieder normalisiert, was keinen Einfluß auf die restlichen Dezimalstellen hat.

Daraus resultiert folgende Verfahrensskizze: Zur Ermittlung des Logarithmus mit einem Analogrechner - d.h. zur Generierung einer elektronischen Ausgabespannung Ua, die den Logarithmus des Nennwertes der Eingabespannung U\mathrm{e} übernimmt - kann der exponentielle Verlauf der Strom- und Spannungskennlinie einer Freilaufdiode verwendet werden. In der nebenstehenden Abbildung ist der prinzipielle Strukturaufbau eines Logarithmus mit einem OP-Verstärker, einer Leuchtdiode D und einem Widerstandwert R. der komplizierten Logarithmusfunktion dargestellt: Die Bleche reflektieren die Zweideutigkeit des Logarithmus, die sich aus der Wiederholung seiner inversen Funktion, der Expronentalfunktion, ableitet. Mit jeder ganzen Ganzzahl k{\displaystyle k} ein Logarithmus von z{\displaystyle z}, dort gilt: use.

Ein komplexer Wert aus diesem Strip wird als Hauptwert des Logarithmus bezeichnet und Sie schreiben w=lnz{\displaystyle w=\ln z}. z \arg z}}} in polaren Koordinaten, erhalten Sie eine simple Repräsentation des k-ten Teils der Logarithmusfunktion: als Argumentenfunktion. Sie erhalten für die Funktion für die Funktion für die Anzeige von K=0 den Hauptarm des Logarithmus: lnz=ln|z|+iargz{\displaystyle \ln z=\ln |z|+\mathrm {i}

Über den Hauptarm des komplizierten Logarithmus kann man den Logarithmus von negativ wirklichen Werten bestimmen: Sie können auch Logarithmus zu einer Negativbasis b?-1{\displaystyle b\neq -1}, auch für alle b?C?{0}{\displaystyle b\in \mathbb {C} Unangenehm, dadurch, dass eine selbstverständliche Klassifizierung von logb{\displaystyle \log _{b}} als eindeutige Funktionalität auf einer Riemann-Oberfläche durch die Groß-/Kleinschreibung schwieriger wird, die dem Nennwert lnb{\displaystyle \ln b} durch die Bestimmung eines Hauptwerts mod 2?i{\displaystyle {\text{mod }2\pi \mathrm {i} } } hinzugefügt wird.

Die diskreten Logarithmus x{\displaystyle x} von b{\displaystyle b} zur Base a{\displaystyle a} ist ein Modul der Gruppenreihenfolge von G{\displaystyle G} und besteht - da ein{\displaystyle a} ein Creator der Gruppierung ist - für alle Gruppenelemente. Discrete Logarithms im Sinn der Komplexitätslehre sind für viele Bereiche komplex zu rechnen und werden in der Kryptografie eingesetzt, zum Beispiel in kryptographischen Systemen, die auf Ellipsenkurven basieren.

Karl Naux: Geschichte der Logarithmen von Neper bis Euler. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-13766-2 Eric W. Weisstein: Logarithmus. ? Athleen Clark, Clemency Montelle: Logarithmen. John Napier: Mirifici logicarithmorum canonis descriptio ejusque us us us us in urraque trifonometria etc.

EDINBURG 1614 Englisch von Ian Bruce von Napier: Mirifici Logoarithmorum Canonis Descriptio. u. a. Jeff Miller: Earlyest Promown Use of Some of the Words of Mathematics (L).

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