Mathematik Grundlagen

Grundlagen der Mathematik

Die Grundlagen der Mathematik sind jene Fakten, die es ermöglichen, Mathematik überhaupt zu praktizieren. Zahlreiche praktische Konzepte der Wirtschaftsinformatik basieren auf den Erkenntnissen der diskreten Mathematik. mw-headline" id="About_History_of_Basic_Questions">To_History_of_Basic_Questions[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

In der Mathematik sind die Grundlagen der Mathematik zum einen Teil der Mathematik, zum anderen sind sie ein wichtiges Objekt der epistemologischen Reflektion, wenn es um die allgemeinen Grundlagen der Erkenntnis des Menschen geht. Soweit solche mathematisch-philosophischen Überlegungen die Erarbeitung der Grundlagen der Mathematik in der Vergangenheit mehrmals beeinflusst haben, sind sie nicht nur Teil der Mathematik, sondern befinden sich in einem Bereich der Überschneidung mit der Natur.

Wenn man - wie in der heutigen Zeit üblich angenommen wird, dass die Mathematik in Mathematik und Mathematik unterteilt ist, kann man sich die "Grundfrage" fragen, ob die beiden Teilbereiche eigenständige Wissensgebiete sind oder ob einer von ihnen der wesentlichere ist, auf den sich der andere rückverfolgen läßt.

Die mathematische Entwicklung von der Altertumsgeschichte bis zu den griechischen Zeiten hat aufgrund der höheren Klarheit der Raumgeometrie dazu geführt, dass viele Rechenaufgaben auf der Basis der Raumgeometrie bewältigt werden. Eben weil die Griechinnen mit der Geometrik besser vertraut waren, gaben die Ziffern die größere Ausstrahlung. Man erkannte, dass die Rechenwelt der Nummern die umfangreichere ist als die Geometriewelt der Nummern, und man erklärte sogar die Nummern im Text "Alles ist Nummer" zur Basis aller Dingen.

Ungeachtet des konkreten Vorteils der geometrischen Form wurden die Ziffern damit zur tatsächlichen Basis der Mathematik in der Philosophenreflexion deklariert. War die Zahl nicht ganz einfach zu erfassen, startete die mathmathematische Systemsatisierung der Grundlagen mit der Axialisierung der Form. Das um 300 v. Chr. entstandene "Element" von Eliuklid sollte bis Ende des neunzehnten Jahrhundert das Vorbild für die Gründung einer Wissenschaftsdisziplin par excellence sein.

Escartes' EinfÃ??hrung des Koordinationssystems, das es ermöglichte, geometrische Fragestellungen in der Berechnungen zu lösen, und die EinfÃ??hrung der differenziellen Berechnung durch Newton und Leibniz brachte zu Anfang der neueren Zeit groÃ?en Fortschritt in der Mathematik und verlagerte die Lasten von der Gerade- zur Rechnerkombination. Allerdings waren die Grundlagen der Mathematik ebenso unklar wie die ihrer neuen Teilbereiche Algebra und Analyse.

Jahrhunderts begann eine bewusst "Arithmetik" der Analyse, das undeutliche Konzept der infin itiv kleinen Ziffer wurde durch die "beliebig kleine Ziffer grösser als Null" abgelöst, die oft als der Buchstabe ?{\displaystyle \varepsilon } bezeichnetet wurde. Dieser " epsilontische ", vor allem von Cauchy und Weierstraß getrieben, der die Analyse in eine Reelle Zahlentheorie verwandelte, brachte einen wichtigen Fortschritt für ihre Zuverlässigkeit; was übrig geblieben war, war die Verdeutlichung des Konzepts der Reelle Zahl oder des Reelle Zahlensatzes - bis auf die axiomatisierende Theory.

Dieses Konzept, das heute als eine der bedeutendsten Grundlagen der Mathematik gilt, wurde in den 1970er und 1980er Jahren des neunzehnten Jahrhundert durch Dedekinds Interpretation der realen Zahlen als Cut und Cantors Interpretation als die bis heute gültige Gleichwertigkeitsklasse der konvergenten Sequenzen geklärt. Tatsächlich wurden Cantors Transfinit-Theorie sowie Phange's Grundrechenarten von Russells Antimonomie beeinflusst, die die Mathematik zu Anfang des zwanzigsten Jahrhundert in eine grundlegende Krise tauchte.

Während dieser Zeit entstanden mehrere philosophische mathematische Standpunkte, von denen hier nur ihre Sicht auf die Problematik einer vereinheitlichten mathematischen Basis wiedergegeben wird: Die Mathematik: Die mathematische Basis für den Logismus ist einfach die logische (wobei sich zeigte, dass die Logisten ein recht weit gefasstes Konzept der logischen Denkweise verwendeten, das im jetzigen Sinn auch set-theoretische Konzepte beinhaltete).

Logiker sollten Recht haben, wenn mathematisches Denken als reines Logikdenken dargestellt und verstanden werden kann. Ein wichtiger Bestandteil der Mathematik sind daher die Kontrollsysteme des rationalen Denkens durch die formale Logistik, von denen die prädiktive Logistik der ersten Ebene die bedeutendste ist. Die Intuition ist auf natürliche Werte ausgerichtet.

Im Gegensatz dazu ist die mathematische Basis kein Objektbereich, der aus Logikobjekten oder Ziffern zusammengesetzt ist, sondern die Basis werden durch die axiomatischen Elemente der Theorien, in denen man sich gerade befindet, und die Prädiktenlogik gebildet. Diese Basis soll durch den Nachweis der Konsistenz der axiomatischen Aussagen gesichert werden. Diesen Nachweis sollte man nicht innerhalb einer formal-axiomatischen Lehre erbringen, denn sonst würde er am Ende kreisförmig werden, sondern innerhalb der (intuitiv gegebenen) finiten Mathematik der Naturzahlen, an deren Konsistenz man nicht zweifeln kann.

So stellen die Naturzahlen für den Förmlichkeitsbegriff weniger die Basis der Mathematik als für den Intuitionsbegriff dar, sondern eher einen Oberbau, eine Metamathematik, wie der Förmlichkeitist Hilbert es ausdrückte. In der Wissenschaft hat sich die formale Stellung weitestgehend behauptet und zu neuen Teilgebieten der Mathematik entwickelt, die sich auf der mathematischen Ebene mit den Grundlagen befassen und meist unter dem Begriff der mathematischen Logiken zusammengefaßt werden:

Aus formalistischer Sicht kann die Suche nach der Basis der Mathematik nur heißen, eine Axiomatik zu erforschen, die alle anderen theoretischen Grundlagen enthält, in denen alle Konzepte der Mathematik definiert und alle Aussagen nachgewiesen werden können. Laut einer weit verbreiteten Ansicht unter Mathematikerinnen und Mathematiker wird diese Basis mit dem Axiomsystem der Zermelo-Fraenkel Mengenlehre geschaffen.

Andere Einstelllehren werden jedoch weiter als mögliches Fundament geprüft. Es wird immer noch die Fragestellung verfolgt, ob Kronecker's Anforderung doch nicht erfüllt werden kann, ob statt einer expansiven satz-theoretischen, eine viel engere rechnerische Basis nicht ausreichen könnte, um die ganze Mathematik darauf aufzusetzen. Sie wird von der Theorie des Beweises durchgeführt, während die Rezidiv-Theorie im Wesentlichen den Aufbau der finiten Mathematik betrachtet und die bestmöglichen Verfahren liefert, mit denen die Theoretiker des Beweises dann ihre Widerspruchsfreiheit nachweisen können.

Damit hat sich beispielsweise der Anschein der antiken Griechenland, dass die Mathematik viel kräftiger ist als die geometrische Form, bestätigt: Der räumliche Zahlenraum, wie er von Descartes durch sein Koordinationssystem vorgestellt wurde, ist ein Muster unseres Geometrieraums; alle Geometrieverhältnisse können auch im Zahlenraum, d. h. mathematisch algebraisch, nachgewiesen werden.

Die Debatte über die Grundlagen der Mathematik in den 1920er Jahren, Oxford University Press, Oxford, Royaume-Uni 1998.

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