Mengenlehre

Mengestheorie

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Mengenlehre. Das Thema der Mengenlehre sind Mengen. Das Konzept des Sets ist eines der wichtigsten und grundlegendsten Konzepte der Mathematik. Georg Cantor entwickelte die Mengenlehre, um die daraus resultierenden Unklarheiten zu vermeiden. Bei der Mengenlehre geht es um Mengen.

mw-headline" id="Geschichte">Geschichte[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Der vorliegende Beitrag behandelt die mathematische Mengenlehre; eine erste Vorstellung von den Konzepten der Mengenlehre finden Sie unter Mengenlehre (Mathematik). Bei der Mengenlehre handelt es sich um einen grundlegenden Zweig der Moral, der sich mit der Erforschung von Gruppen, d.h. mit der Zusammenfassung von Gegenständen befaßt. Sämtliche mathematische Erkenntnisse, wie sie heute allgemein vermittelt werden, sind in der Programmiersprache der Mengenlehre verfasst und basieren auf den Prinzipien der Mengenlehre.

Viele mathematische Gegenstände, die in Unterbereichen wie Algebra, Analyse, Physik, Geoinformatik, Stochastik aufbereitet werden, um nur einige zu nennen, können als Sätze definiert werden. Die Mengenlehre ist in dieser Hinsicht eine ziemlich junge Naturwissenschaft; erst nachdem die grundlegende Krise der Mathematik Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts überwunden worden war, konnte die Mengenlehre ihren gegenwärtigen, mittleren und fundamentalen Stellenwert in der Mathematik einnehmen. der Mengenlehre.

Zwischen 1874 und 1897 wurde die Mengenlehre von Georg Cantor gegründet. Anstelle des Begriffes Set verwendete er zunächst Worte wie "Inbegriff" oder "Multiplizität"; er erwähnte später nur Sets und Mengenlehre. Im Jahre 1895 hat er folgende Set-Definition formuliert: "Unter einem "Set" versteht man jede Kombination zu einem Ganzen die Kombination für bestimmte gut differenzierte Objekte der Wahrnehmung oder des Denkens in einem Ganzen (die als die "Elemente" des Menüs bezeichnet werden).

"Der Kantor hat die Größen, vor allem die endlosen, nach ihrer Dicke klassifiziert. Bei endlichen Gruppen ist dies die Zahl ihrer Element. Zwei Sets bezeichnete er als gleich, wenn sie bijkativ auf einander abgebildet werden können, d.h. wenn es eine 1:1-Beziehung zwischen ihren Bestandteilen gibt. Als Äquivalenz wird eine Äquivalenzbeziehung definiert und die Dicke oder Himmelszahl einer Gruppe A ist nach Kantor die Gleichwertigkeitsklasse der Gruppen gleich A.

Dabei werden die Anzahl der Naturzahlen und alle gleichen Größen nach Kantor als zählbar bezeichnet, alle anderen unendlich vielen als zählbar. Der Satz von natÃ?rlichen, rational (Kantors erstes diagonales Argument) und mathematischen ZÃ??hlern ist zÃ?hlbar und damit gleich. Der Satz reeller Ziffern hat eine grössere Dicke als der von Naturzahlen, so dass er nicht zählbar ist (zweites diagonales Argument des Kantors).

Das Set aller Teilmengen eines Sets ist immer dicker als die Dicke von S, was auch als Cantor'sches Theorem bekannt ist. Wenigstens eine von zwei Größen muss einer der anderen Teilmengen entsprechen. Dies wird mit Unterstützung der umfangreichen Diskussion des Kantors über das Wohlergehen demonstriert. Der Kantor nannte das Kontinuumsproblem: "Gibt es eine Dicke zwischen der der Anzahl der Naturzahlen und der der Reichen?

Richard Dedekind war neben dem Kantor auch ein bedeutender Pionier der Mengenlehre. 1872 entwickelt er eine satzentheoretische Konstruktionsweise reeller Zahlen[2] und 1888 eine mündliche satzentheoretische axiomatische Darstellung von Natürlichkeit. 3 ] Hier war er der erste, der das Axiom der Extensionalität der Mengenlehre ausarbeitete. Die Mengenlehre des Kantors wurde von seinen Altersgenossen kaum in ihrer Wichtigkeit anerkannt und galt keinesfalls als Revolutionsfortschritt, sondern stößt bei einigen Mathematikerinnen und Mathematiker, wie zum Beispiel bei Leopold KRONECKE.

"Im zwanzigsten Jh. wurden Cantors Vorstellungen immer mehr akzeptiert; zugleich fand in der sich weiterentwickelnden Rechenlogik eine axiomatische Darstellung der Mengenlehre statt, mit der bisher bestehende Gegensätze überbrückt werden konnten. In den Jahren 1903/1908 entwickelt Bertrand Russell seine Kategorientheorie, in der Größen immer einen größeren Typen haben als ihre Bestandteile, so dass eine problembehaftete Mengenbildung ausgeschlossen wird.

Letztendlich hat sie sich jedoch für Cantors Mengenlehre als unzureichend erwiesen und konnte sich wegen ihrer Komplexität nicht behaupten. Auf der anderen Seite war die von Ernst Zermelo 1907 entworfene Axiomatik der Mengenlehre überschaubarer und erfolgreicherer Natur, die er speziell für die konsequente Rechtfertigung der Mengenlehre von Kantor und Dedekind erarbeitete. Außerdem entwarf er es für Ur-Elemente, die keine Sets sind, sondern als Set-Elemente betrachtet werden können und Cantors "Objekte unserer Sicht" berechnen.

Dagegen ist die aktuelle Zermelo-Fraenkel Mengenlehre nach Fraenkels Auffassung eine pure Mengenlehre, deren Gegenstände ausschliesslich Sets sind. Allerdings verließen sich viele Mathematikspezialisten nicht auf eine konsistente axiomatische Theorie, sondern auf eine praxisorientierte Mengenlehre, die Problem-Sets vermeidet, wie die von Felix Hausdorff ab 1914 oder von Erich Kamke ab 1928 oft veröffentlichte Mengenlehre, und allmählich wurden sich immer mehr Mediziner darüber im Klaren, dass die Mengenlehre eine unverzichtbare Grundlag ent für die Strukurierung der mathematischen Wissenschaft ist.

Da sich das ZF-System in der Anwendung bewährt hat, wird es heute von der Mehrzahl der Mathematikern als Grundlage der heutigen Moderne erkannt; aus dem ZF-System lassen sich keine Gegensätze ableiten. Allerdings konnte die Freiheit vom Widerspruch nur für die Mengenlehre mit finiten Sätzen demonstriert werden, nicht aber für das gesamte ZF-System, das die Mengenlehre des Kantors mit endlosen Sätzen beinhaltet; nach dem Gödel'schen Unvollständigkeitstheorem von 1931 ist ein solcher Beweis für die Freiheit vom Widerspruch grundsätzlich nicht möglich.

Gödel's Erkenntnisse waren nur durch Hilber's Progamm begrenzt, Mathe und Mengenlehre auf eine nachweisbar konsistente Axiomatik zu setzen, aber sie verhinderten keineswegs den Gelingen der Mengenlehre, so dass es in Wahrheit keine Anzeichen für eine grundlegende Krise in der Mathe gab, über die Intuitionisten redeten. Einen wesentlichen Beitrag zu dieser Erkenntnis leistete die Mathematikergruppe mit dem Künstlernamen Nicolas Bourbaki, die die mathematische Forschung auf der Grundlage der Mengenlehre umgestalten und ab 1939 in zentrale Bereiche der mathematischen Wissenschaften einführen wollte.

Bereits in den 1960er Jahren wurde bekannt, dass die ZF Mengenlehre eine geeignete Basis für die mathematische Forschung ist. In der Primarschule gab es gar eine Übergangszeit, in der die Mengenlehre bearbeitet wurde. Neben der Erfolgsstory der Mengenlehre bleibt jedoch die Auseinandersetzung mit den Mengenaxiomen unter Experten zeitgemäß. Alternativ zur axiomatischen Mengenlehre entstand auch 1937 die Mengenlehre von Willard Van Orman Quine aus seinen Neuen Stiftungen (NF), die nicht auf Kantor oder Zeppelin-Fränkel, sondern auf der Kategorietheorie basierte, 1940 die Neumann-Bernays-Gödel Mengenlehre, die ZF zu Kursen generalisierte, oder 1955 die Ackermann Mengenlehre, die mit der Mengenlehre von Ce....

Bei der puren Mengenlehre ist das Elementausdruck {\displaystyle \in } (d.h. ist Bestandteil von) die einzig erforderliche Grundbeziehung. Daraus werden alle set-theoretischen Ausdrücke und Anweisungen mit Hilfe logischer Verknüpfungen der prädikatenlogischen Logik errechnet. Laut John von Neumann lassen sich die Naturzahlen in der Mengenlehre wie folgt ausdrücken:? Es sollte also deutlich sein, wie durch frühere Begriffsbestimmungen alle weiteren Terme der mathematischen Grundlagen auf Quantitätsbegriffe reduziert werden können.

Stärke und Himmelszahl Die Konzepte der Bijektivfunktion und der Äquivalenzbeziehung können nun auch dazu verwendet werden, die Stärke einer anfangs erwähnten Gruppe zu ergründen. Wenn die Dicke oder Ausprägung eines Satzes A{\displaystyle A} wird |A|{\displaystyle |A|} Ein Satz ist endlich, wenn er gleich einer normalen Nummer ist, dann ist |A|{\displaystyle |A|} die Gesamtzahl der Elementare von A{\displaystyle A}.

Somit ist der Ausdruck kardinale Zahl eine Generalisierung der Anzahl der Elemente einer (endlichen) Gruppe. Einschließlich der Rechenart der Kardinalzahlen wird die Dicke des Leistungssatzes von A{\displaystyle A} als 2|A|{\displaystyle 2^{|A|}} auch für unendliche Gruppen genannt. Der Set P(X){\displaystyle {\mathcal {P}}}(X)} ist teilweise in Bezug auf die Beziehung {\displaystyle \subseteq uh } bestellt, da für alle A,B,C?X{\displaystyle A,B,C\subseteq X} gilt: Die Setoperationen Cut {\displaystyle \cap} und Association {\displaystyle \cup} sind commutativ, associativ und verteilungsfähig miteinander:

Félix Hausdorff: Grundlagen der Mengenlehre. Co., New York 1914/1949/1965, ISBN 978-3-540-42224-2 Adolf Fraenkel: Einführung in die Mengenlehre. Springer, Berlin / Heidelberg / New York, NY 1928 Nachdruck: Martin Säge oHG, Walluf 1972, ISBN 3-500-24960-4 Paul R. Halmos: Naivität der Mengenlehre. Wandenhoeck & Robrecht, Göttingen 1968, ISBN 3-525-40527-8 Erich Kamke: Mengenlehre.

Generelle Mengenlehre. BI-Wissenschaft, Mannheim / Leipzig / Wien / Zürich 1994, ISBN 3-411-17271-1 Oliver Deiser: Einleitung zur Mengenlehre. Georg Kantors Mengenlehre und ihre axiomatische Darstellung durch Ernst Zermelo. Universität Cambridge, 1995, ISBN 0-521-55830-1 Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einleitung zur Mengenlehre. Spektralakademie, Heidelberg / Berlin 2003, ISBN 3-8274-1411-3 Christian Spannagel: Mengenlehre.

Vortragsreihe, Ausgabe 2011. Georg Cantor: Beitrag zur Grundlagenforschung der transgreniten Mengenlehre. Für das Abbild der jeweiligen Textpassage wird auf die Textpassage mit der eingestellten Definition von Georg Kantor. png verwiesen. Richard Dedekind: Konsistenz und unvernünftige Nummern. Die Braunschweiger 1872. Richard Dedekind: Was sind die Ziffern und wofür sind sie da? Turnus 1889. Ingmar Lehmann, Wolfgang Schulz: "Sets - Relations - Functions" (3rd edition, 2007), ISBN 978-3-8351-0162-3. Letter from Kantor to Dedekind dated December 1899, in: Georg Cantor: Collected treatises of mathematical and philosophical content. ed.

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