Nullstellen

Nullen

Polynome werden nach ihrer Multiplizität unterschieden. Anhand von Beispielen, Erklärungen und Lernvideos zeigen wir Ihnen, wie Sie Nullen berechnen. mw-headline" id="Zero_real_value_functions">Zero real_value_functions[Bearbeiten | < Quelltext bearbeiten]

Nullen von Befehlen sind Parameter ("x-Werte"), die bei Verwendung den Wert der Befehlen ("y-Wert") Null bereitstellen. Das Wortelement "Position" zeigt an, dass es sich um Bestandteile des Definitionsbereichs handele. Für reale Anwendungen sind dies exakt die Punkte auf der x{\displaystyle x}-Achse, an denen das Diagramm einer Funktionalität f{\displaystyle f} die x{\displaystyle x}-Achse berühren oder schneiden kann.

Nullen von Vielecken werden auch als Roots bezeichne. Dabei sind die x{\displaystyle x}-Werte 3 und -3 Nullen der Funktionalität f{\displaystyle f}, da f(3)=32-9=0{\displaystyle f(3)=3^{2}-9=0} und f(-3)=(-3)2-9=0{\displaystyle f(-3)=(-3)^{2}-9=0}. Dabei ist der x{\displaystyle x}-Wert 0 keine Null, da f(0)=02-9=-9{\displaystyle f(0)=0^{2}-9=-9}. eine polynomielle Funktionalität oder mindestens kontinuierlich und am Nullpunkt x0?D{\displaystyle x_{0}\differenzierbar in D}, der Nullpunkt x0{\displaystyle x_{0}} kann "aufgeteilt" werden.

Um es anders auszudrücken: Auch wenn Sie die Null x0{\displaystyle x_{0}}} von der Null getrennt haben, verbleibt die Null immer noch bei der Null.

Wobei x0{\displaystyle x_{0}} eine multiple Null von f{\displaystyle f} genannt wird. Zur Bestimmung, ob x0{\displaystyle x_{0}} eine einzelne oder mehrere Null ist, verwenden Sie die Angabe, dass der Wert g (x0){\displaystyle g(x_{0})} gleich der Ableitung für f{\displaystyle f} am Standort x0{\displaystyle x_{0}} ist. Bei einer differenzierbaren Funktionalität f{\displaystyle f} erhalten Sie das folgende Kriterium: Eine Null x0{\displaystyle x_{0}} von f{\displaystyle f} ist eine Mehrfach-Null, wenn f?(x0)=0{\displaystyle f'(x_{0})=0\,} ist.

Wenn man das f{\displaystyle f} häufiger unterscheiden kann, kann man diesen Vorgang beliebig oft durchlaufen. Er war im k{\displaystyle k} eine normale Nummer. Es gibt eine Funktionalität f:D?R{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R}, die (mindestens) (k-1){\displaystyle (k-1)} mal unterschieden werden kann. aufweist in x0?D{\displaystyle x_{0}\in D} eine (mindestens) k{\displaystyle k}-gefaltete Null oder eine Null der Ordnung (mindestens) k{\displaystyle k}, wenn f{\displaystyle f} sich selbst und die ersten k-1{\displaystyle k-1} Derivate von f{\displaystyle f} den Wertnullpunkt bei x0{\displaystyle x_{0}} übernehmen:

also bezeichnet man k{\displaystyle k} als Ordnung oder Multiplizität der Null. So ist 1 ein Tripel, aber nicht eine Vierfachnull von f{\displaystyle f}, d.h. eine Null von Multiplizität für f (x)=(x-x0)k-1g(x){\displaystyle f(x)=(x-x_{0})^{k-1}g(x)} und g (x0)=0{\displaystyle g(x_{0})=0} ist. f (x)=(x-x0)kg(x){\displaystyle f(x)=(x-x_{0})^{k}g(x)} und g(x0)?{\displaystyle g (x_{0})\neq 0}. hat bei 0 eine unendliche Null der Ordnung, s. auch Analysefunktion. zu lösen nach x{\displaystyle x}.

Hier können mit verschiedenen numerischen Methoden wie Halbierung, Regula-Falz oder eine geeignete Festpunktiteration für kontinuierliche Funktion, Newton oder Halley für differenzierte Funktion, Weierstraß oder Bairstow für Polynom kann man Annäherungswerte für Nullstellen ermitteln. Die Nullpunktsuche befindet sich in der Aufstellung der numerischen Methoden im Abschnitt nichtlineare Formelsysteme.

Null von p{\displaystyle p}, wenn das Einfügen von x{\displaystyle x} in p{\displaystyle p} zu Null führt: Falls R?S{\displaystyle R\to S} ein Ringhomorphismus ist, können analoge Nullen von p{\displaystyle p} bis S{\displaystyle S} festgelegt werden. ist. siehe auch. Dieses Statement wird manchmal als Zeroing Set bezeichnet, aber es besteht die Gefahr einer Verwechslung mit dem Hilbert Zeroing Set. Ein K-Display-Stil k faltet Null oder Null der Ordnung k-Display-Stil k ist ein Bauteil x?R{Display-Stil x\in R}, so dass p-Display-Stil p durch (X-x)k-Display-Stil (X-x)k-Display-Stil (X-x)^{k}}Trennbar ist.

Der K-Display-Stil k bezeichnet man auch als die Vielzahl oder Vielzahl der Null. Bei Polynomen über einem Organismus mit einem maximalen Grade von vier gibt es generelle Lösungsfindungen mit Resten, um die Nullen unmittelbar zu bestimmen: Falls anXn+an-1Xn-1+?+a1X+a0{\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dotsb +a_{1}X+a_{0}} ein Vieleck mit ganzen Zahlenkoeffizienten ist, ist jede ganze Null ein Divisor von a0{\displaystyle a_{0}}.

Wäre Xn+an-1Xn-1+?+a1X+a0{\displaystyle X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dotsb +a_{1}X+a_{0}} ein genormtes Vieleck mit ganzen Zahlenkoeffizienten, wäre jede rationelle Null eine ganze Zahl und damit ein Divisor von a0{\displaystyle a_{0}}}. Beispiel: Die Divisoren -2,-1,1,1,2{\displaystyle -2,-1,1,2} des absoluten Elements von p(X)=X3-X-2{\displaystyle p(X)=X^{3}-X-2} sind keine Nullen, so dass p{\displaystyle p} keine Rations-Nullen hat. Weil jede Faktorenbildung von p{\displaystyle p} einen linearen Faktor beinhalten müßte, ergibt sich daraus, daß p{\displaystyle p} über Q{\displaystyle \mathbb {Q}

Ein Polynom mit ungeradem Grad über den realen Werten hat immer wenigstens eine reale Null; diese ergibt sich aus dem Mittelwertsatz. Wirklich komplizierte Nullen von realen Polynomen kommen immer als Paar von komplexen konjugierten Nummern vor. Viele reale Nullen haben also immer gerade oder seltsame Grad haben, wenn jede Null entsprechend ihrer Vielfältigkeit gezählt wird.

Beispiel: Daraus resultieren die beiden komplexen verbundenen Nullen 1+i{\displaystyle 1+\mathrm {i} } und 1-i{\displaystyle 1-\mathrm {i} }. Daher liegen die Nullen im ermittelten Zeitintervall. Wo x1,....,xk{\displaystyle x_{1},\dotsc ,x_{k}} sind die unterschiedlichen Nullen von p{\displaystyle p} und m1,...,mk{\displaystyle m_{1}, \dotsc ,m_{k}} sind ihre entsprechenden Mehrfachpunkte. K{\displacement style K} ist ein vollwertiger Body mit Bewertungsring A{\displaystyle A} und Restklassenbody k{\displacement style k}, und p?A[X]{\displaystyle p\in A[X]} ist ein standardisiertes Mehrnamiges.

Wenn die Reduzierung p¯?k[X]{\displaystyle {\bar {p}}}\in k[X]} eine simple Null in k{\displaystyle k} hat, dann hat p{\displaystyle p} eine Null in A{\displaystyle A}. den Körpern der p-adischen Nummern für ein prime P. Es ist ein p. Nullstellung, d.h. Zp{\displaystyle \mathbb {Z}

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