Prädikatenlogik

ein Prädikat für die logische Signatur. Dabei wird keine nahezu vollständige oder fundierte Behandlung der Prädikatenlogik angeboten. Ähnlich wie jede Schriftsprache basiert die Prädikatslogik der ersten Stufe auf einer.

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Das Prädikat Logiken (auch bekannt als Quantenlogiken) bildet eine Reihe von logischen Systemen, die es ermöglichen, die Validität einer Vielzahl von Schlussfolgerungen zu formulieren und zu verifizieren, die für die Ausübung vieler wissenschaftlicher Tätigkeiten und deren Anwendung wichtig sind. Aufgrund dieser Eigenschaften kommt der Prädikatenlogik eine wichtige Bedeutung in der Logistik, Morphologie, Informatik, Sprachwissenschaft und Philosphie zu.

In Eigenregie bauten Göttlob R. F. und Charles Sanders Peirce[1] die Prädikatenlogik aus. Ãltere Logiksysteme, wie z.B. die herkömmliche konzeptuelle Logik, sind in ihrer Ausdruckskraft wahre Subgruppen der PrÃ?dikatenlogik. Predicate logic ist eine Ergänzung der Propositionslogik. Im Rahmen der Satzlogik werden Zusammensetzungs-Sätze dahingehend überprüft, aus welchen einfachen Sätzen sie bestehen. Beispielsweise setzt sich die Anweisung " Es regnete oder die Masse ist eine Platte " aus den beiden Anträgen "Es regnete" und "Die Masse ist eine Platte" zusammen.

"Diese beiden Anweisungen wiederum können nicht in weitere partielle Anweisungen zerlegt werden - sie werden daher Atom- oder Elementarbereich oder Elementarbereich bezeichnet. Im Rahmen der Prädikatenlogik werden Atomaussagen auf ihre innere Beschaffenheit hin überprüft. Der zweite Merkmalskonzept der Prädikatenlogik ist der Quant. Eine Quantifizierung verbindet die Variablen einer Blockfunktion so, dass ein weiterer Block erstellt wird.

Die Quantor gibt an, dass ein Prüfprädikat für alle Personen gelten soll. Im existentiellen Quantisierer heißt es, dass ein Attribut für wenigstens eine Person gilt. Der Quantifizierer erlaubt Angaben wie "Alle Menschen sind sterblich" oder "Es gibt wenigstens einen rosafarbenen Elefanten". In Einzelfällen werden zusätzliche nummerische Quantifizierer eingesetzt, mit denen festgestellt werden kann, dass ein Prüfprädikat für eine gewisse Zahl von Personen gilt.

Bei der obigen Begriffsbestimmung eines Prädikats als Wortfolge mit eindeutig festgelegten Leerzeichen, die zu einer Anweisung wird, wenn in jeden Leerzeichen ein richtiger Name eingefügt wird, handelt es sich um eine reine formelle, sinnlose Begriffsbestimmung. Inhaltsmäßig können PrÃ?dikate sehr verschiedene Bedingungen ausdrÃ?cken, z.B. Konzepte (z.B. "_ ist ein Mensch"), Merkmale (z.B. "_ ist rosa") oder Bezeichnungen, d.h. BezÃ?ge zwischen Personen (z.B. "_1 ist gröÃ?er als _2" oder "_1 lauert zwischen _2 und _3").

werden von verschiedenen Philosophen verschieden angesehen, und da die exakte Begrenzung von Konzepten, Merkmalen und Beziehungen auch voneinander abweichend wahrgenommen wird, ist diese formelle Begriffsbestimmung in der Praxis am günstigsten, da sie die Verwendung der Prädikatenlogik ermöglicht, ohne dass gewisse ontologische der metaphysischen Bedingungen erfüllt sein müssen. Bei einem Prädikat wird die Anzahl der verschiedenen Leerzeichen als seine Ziffer bezeichnet.

Beispielsweise ist ein Predikat mit einem Leerzeichen eine einstellige Zahl, ein mit zwei Leerzeichen eine zweistellige Zahl und so weiter. In manchen Fällen werden Anweisungen als Nullstellenprädikate angesehen, d.h. Deklarationen ohne Leerzeichen.

Oftmals werden die Parameter eines PrÃ?dikats in runden runden Zeilen und durch Kommas voneinander abgetrennt, so dass die Beispieldaten als F(_1,_2) oder G(_1) und H(_1,_2,_3) verfasst werden. Bei der Bearbeitung im Zusammenhang mit einer einführenden Präsentation der Prädikatenlogik genügt es, solche sprachlichen Ausdrücke als Eigennamen zu benennen, die exakt eine Einzelperson benennen; das Stichwort "Individuum" wird hier ganz allgemein verständlich und bedeutet alles "Ding" (physisches Objekt, Nummer, Person,....), das sich in jeder denkbaren Art und Weise auszeichnet.

Die Gegenstücke zu den eigentlichen Namen der Natursprache sind die einzelnen Konstanten der Prädikatenlogik; meistens wÃ?hlt man Kleinbuchstaben aus dem Anfangsbereich des Lateinischen Alphabetes, z.B. a, b, c. Anders als bei natürlichsprachigen Eigennamen kennzeichnet jede einzelne Konstante eigentlich exakt eine Person. Dabei handelt es sich nicht um implizite metaphysische Bedingungen, sondern nur um die Festlegung, dass nur natürlichsprachliche Eigennamen mit individuellen Konstanten exprimiert werden, die eigentlich nur eine Person nennen.

Anhand des Vokabulars von Prädikatsbuchstaben und individuellen Konstanten ist es möglich, die innere Gliederung von propositionell logischen Atomsätzen wie "Sokrates ist ein Mensch" oder "Gottlob Friege ist der Verfasser der "Begriffsschrift"" zu analysieren: Büchertitel "Begriffsschrift" mit der individuellen Konstanten c und den Prädikaten "_ ist ein Mensch" und "_1 ist der Verfasser von _2" mit den Prädikatsbuchstaben F_ bzw. G_1_2, dann kann "Sokrates ist ein Mensch" als Fa und "Gottlob ist der Verfasser der Begriffsschrift" mit Gbc ausgedrückt werden.

Quanten ermöglichen es, Aussagen darüber zu treffen, ob eine Satz-Funktion für keine, einige oder alle Personen des Diskursuniversums gilt. Die Satz-Funktion ist im einfachen Sinne ein zweistelliges Vorzeichen. Fügt man eine individuelle Variablen in das PrÃ?dikat ein und platziert den Existenzquantisierer und die gleiche Variablen davor, so wird beansprucht, dass es zumindest eine Person gibt, fÃ?r die das PrÃ?

Daher muss es zumindest einen Vorschlag in der Gestalt der Einfügung einer individuellen Konstante in das prädiktive Merkmal machen, das in dem betroffenen Diskurs-Universum zutreffend ist. Laut des Allquantors gilt ein prädikatives Wort für alle Personen aus dem Diskurs-Universum. Dementsprechend sind in der herkömmlichen Prädikatenlogik alle Atom- und Allquantifizierungen zutreffend, wenn das Universum des Diskurses inaktiv ist.

Der Einsatz von Quantifizierern für einstellige Prädikate, z.B. "_ ist ein Mensch. M_ ist die Translation des zweistelligen Satzes "_ ist ein Mensch" und {\displaystyle \exists } ist der Existenzquantisierer. Beides zeigt den Raum an, auf den sich der Quantifizierer verweist. In dem ausgewählten Beispiel scheint dies überflüssig, da es nur einen Quanten und nur einen Raum beinhaltet und somit keine Zweideutigkeit möglich ist.

In dem allgemeinen Falle, in dem ein prädikatives Element mehr als ein Leerzeichen und ein Satzbau mehr als ein Quant und mehr als ein prädikatives Element beinhalten kann, würde ohne die Anwendung entsprechender "Querverweise" kein eindeutiger Wert angegeben werden. Um die Relation zwischen einem Quanten und dem Leerzeichen, auf das er sich verweist, herzustellen, werden in der Regel kleine Zeichen vom Ende des lateinischen Alphabets benutzt, z.B. die Zeichen x, y und z; sie werden als individuelle Variablen bezeichnet. Diese werden als einzelne Variablen definiert.

Der Raum, auf den sich ein Quanten verweist, oder die für diese Verknüpfung verwendete Größe wird als durch den Quanten verbunden betrachtet. Wenn man einen Raum in einem multi-stelligen Vorzeichen durch einen Quanten verbindet, dann ergibt sich ein Vorzeichen von einer Ziffer niedriger. Aus dem zweistelligen Ausspruch L_1_2, "_1 loves _2", der die Beziehung des Verliebens zum Ausdruck bringt, wird das einstellige Ausspruch xLx_{\displaystyle \forall xLx\_}, indem der erste leere Raum durch den Allequantor, also gewissermaßen von allen zu liebende, verbindlich wird (der Allequantor verweist auf den ersten leeren Raum, in dem die Person steht, aus der die Verliebte stammt).

Indem sie die zweite Lücke verbindet, wird sie dagegen zum einstelligen Ausspruch xL_x{\displaystyle \forall xL\_x}, der Qualität, gewissermaßen alles und jeden zu mögen (der Allerquantor verbindet die zweite Lücke, d.h. die Lücke, in der der Mensch steht, der die ihm anvertraute Person spielt). Von Interesse sind Datensätze mit prädikativen Angaben, in denen mehr als ein Raum durch ein Quantensystem verbunden ist.

Das Behandeln solcher Datensätze stellt die große Effizienz der Prädikatenlogik dar, ist aber gleichzeitig der Zeitpunkt, an dem das Verfahren für den Neuankömmling etwas komplizierter wird und eine intensivere Diskussion und Praxis erfordert. Um einen kleinen Überblick über die Einsatzmöglichkeiten der Prädikatenlogik zu erhalten, sollen für das einstellige zweistellige prädiktive L_1_2, das wie oben beschrieben als "_1 loves _2" zu lesen ist, alle Verknüpfungsmöglichkeiten der Leerzeichen durch Quantifizierer aufgeführt werden:

Bei beiden wird jeder Mensch gemocht, bei dem ersten jedoch wird jeder von jemandem gemocht, bei dem zweiten wird jeder von ein und demselben Menschen mitgenommen. "Die Äquivalenzbeziehung zwischen zwei logischen Prädikaten resultiert aus dem grafischen Tausch von Allem Quantor und Existenzquantor." "Alle Tiere sind Säugetiere" "Alles ist eine Tierart und ein Säugetier" "Eine Tierart ist eine Tierart " "Es gibt eine Töchterchen von Tom und Jenny" "Jede Tierart ist eine Tierart" "Nicht alle Tiere sind grün".

Nachfolgend sind einige häufig verwendete prädiktive logische Gleichwertigkeiten als Beispiele aufgeführt. Bindet man - wie bisher dargestellt - Quanten die Leerzeichen von PrÃ?dikaten, dann sprich man von PrÃ?dikatenlogik der ersten Ebene oder Ordnung, Englisch: First Order Logic, abgekÃ?rzt FOL; es ist gewissermaÃ?en das Standardmodell der PrÃ?dikatenlogik. Ein offensichtlicher Unterschied der Prädikatenlogik ist es, nicht nur die Leerzeichen von Prädikaten zu verbinden, d.h. sie nicht nur über Einzelpersonen zu quantitativisieren, sondern auch existentielle und universelle Aussagen über prädiktive Werte zu machen.

So kann man Erklärungen wie "Es gibt ein Prüfprädikat, für das gilt: es betrifft Sokrates" und "Für jedes Prüfprädikat gilt: es betrifft das Prüfprädikat oder nicht das Prüfprädikat Sokrates" einrichten. Neben den einzelnen Leerzeichen der first level predicates hätte man auf diese Art und Weise Prädikatslücken eingefügt, die zu sekundären prädikativen Elementen in der zweiten Ebene münden, z.B. zu "_ applies to Socrates".

Es ist nur ein kleiner Sprung zu PrÃ?dikaten der dritten Ebene, in deren RÃ?umen PrÃ?dikate der zweiten Ebene verwendet werden können, und im Allgemeinen zu PrÃ?dikaten der höheren Ebene. In diesem Falle sprechen wir daher von einer Logik der höheren Ordnung (HOL). Dabei ist die formell simpelste Ausdehnung der Prädikatenlogik der ersten Ebene jedoch die Hinzufügung von Mitteln zur Identitätsbehandlung.

Die resultierende Systematik wird als Prädikatenlogik der ersten Ebene mit Identifikation bezeichnet. Obwohl Identitäten in der Prädikatenlogik einer höheren Ebene definiert werden können, d.h. ohne Sprachausbau behandelt werden können, ist es das Ziel, so lange wie möglich und so viel wie möglich auf der ersten Ebene zu wirken, denn dafür gibt es vereinfachte und vor allem komplette Rechenoperationen, d.h. solche, in denen alle in diesem Regelwerk geltenden Formulierungen und Artikuli abgeleitet werden können.

Dies trifft nicht mehr auf die übergeordnete Prädikatenlogik zu, d.h. es ist nicht möglich, alle zulässigen Parameter mit einem einzelnen Zahnstein für die übergeordnete Prädikatenlogik abzuleiten. Andererseits können Sie die Prädikatenlogik der ersten Ebene eingrenzen, indem Sie sich z.B. auf einstellige prädiktive Zeichen beschränken. Die sich aus dieser Beschränkung ergebende Logik des logischen Systems, die einsadige Prädikatslogik, hat den Vorzug, entscheidungsfähig zu sein; das heißt, es gibt physikalische Vorgänge (Algorithmen), die in begrenzter Zeit für jede Formeln oder jedes Kriterium der einsadigen Prädikatslogik bestimmen können, ob sie zulässig ist oder nicht.

Zu einigen Zwecken ist die einfache Prädikatenlogik hinreichend; außerdem kann jede herkömmliche konzeptionelle Logiken, nämlich die Syllogistiken, in der monadischen Prädikatenlogik ausgedrückt werden. Neben der bereits diskutierten Differenzierung von prädikatslogischen Systemen nach ihrer Ebene oder Ordnung gibt es sowohl die klassischen als auch die nicht-klassischen Merkmale. Es wird von der klassischen Prädikatenlogik oder generell von der klassischen Logic gesprochen, wenn beide der beiden nachfolgenden Voraussetzungen gegeben sind: Der Wahrheitsgehalt von Anweisungen, die aus propositionalen Logikpunkern bestehen, wird durch die Wahrheitsgehalte der komponierten Anweisungen unmissverständlich ermittelt (Extensionsprinzip).

Wenn man von zumindest einem dieser Grundsätze abweicht, ergibt sich eine nicht klassische Prädikatenlogik. Natürlich ist es auch innerhalb der nicht-klassischen Prädikatenlogik möglich, sich auf einstellige Prädikate zu begrenzen (nicht-klassische monadische Prädikatenlogik), Einzelpersonen zu quantitativ isieren (nicht-klassische Prädikatenlogik der ersten Ebene), das Gesamtsystem um eine identische Datenerweiterung (nicht-klassische Prädikatenlogik der ersten Ebene mit Identität) oder die Quantifizierung auf prädikative Daten auszuweiten (nicht-klassische Prädikatenlogik der höheren Ebene).

Als nicht klassisches Prädikatslogiksystem wird oft die modifizale Prädikatslogik verwendet (siehe Modallogik). Zu jedem logischen Prädikatssystem kann eine formelle Wortbedeutung eingerichtet werden. Zu diesem Zweck wird eine Interpretungsfunktion bestimmt, eine in mathematischer Hinsicht, die den PrÃ?dikaten der formellen PrÃ?dikatlogik einen Teil und den AtomsÃ?tzen einen Wahrheitswert zuweist. Zuerst wird ein Diskurs-Universum bestimmt, d.h. die Summe der erkennbaren Objekte ("Individuen"), auf die sich die zu lesenden prädikativen logischen Anweisungen berufen sollen.

Bei der klassischen Prädikatenlogik werden die individuellen Sprach-Elemente wie folgt interpretiert: Individuelle Konstanten Jeder individuellen Konstante ist exakt ein Bestandteil des Diskursuniversums zugewiesen, d.h. jede individuelle Konstante bezeichnet exakt ein individuelles Einzel. Einzelne Ziffern prädiktieren Jedem einzelziffrigen prädikament ist eine Reihe von Personen aus dem Diskurs-Universum zugewiesen. Dadurch wird bestimmt, für welche Personen das betreffende Prüfprädikat gilt.

Wenn beispielsweise die Mengen {a,b,c}{\displaystyle \{a,b,c\}} dem einstelligen PrÃ?dikat \displaystyle F} zugewiesen ist, dann wird angegeben, dass die Mengenangaben F\-displaystyle F} auf die Mengen a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} und c{\displaystyle c} zutreffen. Multi-stellige Prädikate Jedes n{\displaystyle n}-stellige prädiktive prädikative Element wird von Personen aus dem Diskurs-Universum mit einem Satz von n{\displaystyle n} Tupeln belegt. Anweisungen Um den Wahrheitsgehalt von Anweisungen zu ermitteln, muss die Auswertungsfunktion den Satz aller gut geformten Anweisungen in den Satz von Wahrheitswerten einblenden, d.h. für jede Aussage der prädikativen logischen Formulierung feststellen, ob sie richtig oder falsch ist.

Das passiert in der Regel nach dem folgenden Schema (die Auswertungsfunktion heißt hier B): B(¬?{\displaystyle \neg \varphi }) = true (?{\displaystyle \varphi } ist hier eine logische Aussage), wenn B(?{\displaystyle \varphi } ) = false; sonst B(¬?{\displaystyle \negestyle \varphi \)) = false. Das heißt, die Ablehnung einer Falschaussage ist zutreffend, die Ablehnung einer Falschaussage istzutreffend.

B( (???{\displaystyle \varphi \land \psi }) = true (?,?{\displaystyle \varphi \ \psi } sind hier logische Anweisungen), wenn B(?{\displaystyle \varphi ) ) = true; sonst B(???{\displaystyle \varpsi \land \psi }) = false. Das heißt, eine Verbindung ist echt, wenn beide Verbindungen echt sind; ansonsten ist sie echt.

B( (?(?){\displaystyle \varphi (\alpha )})), worin ?{\displaystyle \varphi } ein einstelliger prädiktiver Buchstabe ist und ?{\displaystyle \alpha } eine individuelle Konstante ist, gibt den Wahrheitswert "true" zurück, wenn die Auslegung von ?{\displaystyle \alpha } ein Teil der Auslegung von ?{\displaystyle \varphi ist: }, mit anderen Worten: falls die von ?{\displaystyle \alpha } genannte Person unter das prädiktive Wort ?{\displaystyle \varphi } fallen.

Ansonsten gibt B( (?(?){\displaystyle \varphi (\alpha )})) den Wahrheitswert "false" zurück. B( (?(?,...., ?n){\displaystyle \varphi (\alpha _{1},\dotsc \alpha _{n})})), wobei www ?{\displaystyle \varphi uh ein n{\displaystyle }-stelliger Preisikatbuchstabe ist und ?{\displaystyle \alpha _{1} bis ?n{\displaystyle \lpha \alpha _____}) sind individuelle Konstanten, gibt den Wahrheitswert "wahr" zurück, wenn das n{\displaystyle n} Tupel ?n?,...., ?n?{\displaystyle \langle \alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}\rangle } ist Teil der Interpretationsweise des Prädikats Buchstabens ?{\displaystyle n}.

Ansonsten gibt B(?(?,....,?n){\displaystyle \varphi (\alpha _{1},\dotsc \\alpha _{n})}) den Wahrheitswert "wrong" zurück. B( (???(?){\displaystyle \forall \chi \varphi (\chi })), worin ?{\displaystyle \chi }} eine individuelle Variable ist und ?(?){\displaystyle \varphi \chi er ist ein einstelliges PrÃ?dikat, in dessen (ein- oder mehrstelligem) Raum ?{\displaystyle \chi eintritt, wird, gibt den Wahrheitswert "wahr" zurück, wenn B(?(??){\displaystyle \varphi \left({\beta \over \chi \chi \right)}) den Wahrheitswert "wahr" zurückgibt - ungeachtet dessen, für welche Person ?{\displaystyle \beta ist.

Die Konstante ?{\displaystyle \beta ist eine individuelle Konstante, die nicht in ?(?){\displaystyle \varphi (\chi \chi und ? (??){\displaystyle \varphi \left ({\beta \over \chi \chi \right)} auftritt, ist der Ausdrück, den man findet, die auftritt, wenn Sie in ?(?){\displaystyle \varphi (\chi )} jedes Auftreten der individuellen Variable ?{\displaystyle \chi \chi durch die individuelle Konstante ?{\displaystyle \beta auftritt. Ansonsten B(???(?){\displaystyle \forall \chi \varphi (\chi )}) = Fehler.

Anders ausgedrückt: B(???(?){\displaystyle \forall \chi \varphi (\chi )}) ist wahr, wenn ?{\displaystyle \varphi in Wirklichkeit für alle Personen des Diskurs-Universums gilt. B( (???(?){\displaystyle \existiert \chi \varphi (\chi })), worin ?{\displaystyle \chi }} eine individuelle Variable ist und ?(?){\displaystyle \varphi \chi er ist ein einstelliges PrÃ?dikat, in dessen (ein- oder mehrstelligem) Raum ?{\displaystyle \chi eintritt, bietet den Wahrheitswert "wahr" wenn,

if ?{\displaystyle \varphi } gilt für wenigstens eine Person aus dem Diskurs-Universum, das heisst, wenn es möglich ist, eine individuelle Konstante, die nicht in ?{\displaystyle \varphi } ?{\displaystyle \beta } auftritt, einer Person aus dem Diskurs-Universum so zuzuweisen, dass B(?(??){\displaystyle \varphi \left ({\beta \over \chi \chi }\right)}) den Wahrheitswert "true" bereitstellt. Bevor die Aussagen- und Prädikatenlogik aufblühte, herrschte die konzeptionelle Logik in Form der von Aristoteles erarbeiteten Silologistik und der darauf basierenden verhältnismäßig moderaten Ausbauten.

Beide seit den 1960er Jahren in der Theorie der konzeptuellen Logik entwickelten Verfahren werden von ihren Repräsentanten als gleichwertig zur Prädikatslogik (Freytag) bzw. gar als übergeordnetes System (Sommers) eingestuft, haben aber bei Experten wenig Beachtung erlangt ("Begriffslogik"). Für die verschiedenen Grundlagen der mathematischen Grundlagen sind Prädikatslogiken von entscheidender Wichtigkeit. Die logischen Programmierungssprachen beruhen zum Teil auf - oft begrenzten - Formaten der Prädikatenlogik.

Es kann eine Art Wissensdarstellung mit einer Ansammlung von Begriffen in der Prädikatenlogik stattfinden. Die Beziehungsrechnung, eine der Theoriegrundlagen von Datenbank-Abfragesprachen wie SQL, verwendet zudem die Prädikatenlogik als Ausdrückmittel. Im Bereich der Sprachwissenschaft, insbesondere der Formalsemantik, werden Formulare der Prädikatenlogik zur Darstellung der Sinnhaftigkeit verwendet. Typen und Ergänzungen der Prädikatenlogik werden in den nachfolgenden einzelnen Artikeln beschrieben:

Die Berechnungen zur Prädikatierung logischer System sind in den nachfolgenden einzelnen Artikeln aufgeführt: Griff 1: Anweisungs- und Prädikatslogik. Mit Mentis, Paderborn 2006, ISBN 3-89785-441-4, Benson Mates: Elementary Logic - Predicate Logik of the First Level. Akademie-Verlag, Berlin 1986. Uschi Robers: Formelle Repräsentation der Prädikatenlogik. Dr. Klaus Dethloff, Christian Gottschall: Einleitung in die Prädikatenlogik. Prädikatenlogik. In : Journal of Philosophical Logic, Bd. 27, numéro 5 (Oktober 1998), S. 489: "Entwicklung der ersten Ordnung unabhängig von Friedrichshafen, Antizipation von Pränex und Skolem Normalformen" Highspringen ? List aller Formeln with doppelstelligen Predikaten on der Wikiversität.