Quadratische Gleichungen

Gleichungen im Quadrat

Die quadratischen Gleichungen bereiten vielen Schülern Schwierigkeiten. ¿Wie kann man quadratische Gleichungen lösen? Mit diesem Rechner werden quadratische Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Addition gelöst.

mw-headline" id="Allgemeine_Form_und_Normalform">Allgemeine Formular und Normalform[Edit | < Quelltext bearbeiten]

in der Art von a?{\displaystyle a\neq 0}. Im Falle von b=0{\displaystyle b=0} sprechen wir von einer rein rechteckigen Form. Auf der linken Hälfte dieser Formel steht der Begriff einer Quadratfunktion (allgemeiner: ein zweiter Grad Polynom), f(x)=ax2+bx+c{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}; der Funktionsdiagramm dieser Funktionalität im rechtwinkligen Koordinationssystem ist eine Parallelle. Die quadratische Formel f(x)=0{\displaystyle f(x)=0} bezeichnet die Nullen dieser Flur.

ax2{\displaystyle ax^{2}} ist ein Quadratelement, bx{\displaystyle bx} ein linearer Element und c{\displaystyle c} ein konstanter Element (oder absolutes Element) der Formel. Nachfolgend werden erste quadratische Gleichungen mit realen Werten als Faktoren a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} und c{\displaystyle c} oder {\displaystyle p} und q{\displaystyle q} berücksichtigt. Ein Lösungsansatz für die quadratische Formel ist eine Zahl, die bei Verwendung für x{\displaystyle x} die Formel befriedigt.

Jeder quadratische Ausgleich hat, wenn reelle Zahl als Lösung erlaubt ist, exakt zwei (möglicherweise übereinstimmende) Ergänzungen, auch als Wurzel der Ausgleichung bezeichnet. Wenn man nur die realen Werte ansieht, hat eine quadratische Formel null bis zwei Ausprägungen. Mit der sogenannten Diskriminanz D kann die Zahl der Lösungsansätze bestimmt werden{\displaystyle D}

Die Kurve stellt den Zusammenhangs zwischen der Zahl der realen Nullen und der Diskriminanz dar: Wenn der Faktor des geradlinigen Elements b=0{\displaystyle b=0} oder das Absolutelement c=0{\displaystyle c=0}, kann die quadratische Formel durch simple Äquivalenztransformationen ohne die Notwendigkeit einer allgemeinen Lösungsformulierung gelöst werden. Beispielsweise hat die Formel x2-3=0{\displaystyle x^{2}-3=0} die Lösung x1,2=±3{\displaystyle x_{1,2}=\pm {\sqrt {3}}}}.

Es gibt keine echten Antworten auf die Formel 2x2+8=0{\displaystyle 2x^{2}+8=0}, die komplizierten Antworten sind x1,2=±2i{\displaystyle x_{1,2}=\pm 2\mathrm {i} U}. x-d)2=-ea{\displaystyle (x-d)^{2}=-{\frac {e}{a}}}}. Die Art der Anzeige x_{1}=d+{\sqrt {-{\frac {e}{a}}}} und x2=d--ea{\displaystyle x_{2}=d-{\sqrt {-{\frac {a}{a}}}}}}}}}.

Die Art der Anzeige x_{1}=d+\mathrm {i}} {\sqrt {\frac {e}{a}}}} und x2=d-iea{\displaystyle x_{2}=d-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {e}{a}}}}. Beispiel: Bei der Lösung mit einer quadratischen Addition werden die binomialen Gleichungen verwendet, um eine quadratische Formel in allgemeiner oder normaler Ausprägung in die Knotenform zu überführen, die dann leicht gelöst werden kann.

Das ist die "quadratische Addition". Auf der linken Seit hat die Form nun die Form x2±2dx+d2{\displaystyle x^{2}\pm 2dx+d^{2}} und kann mit der Binomialformel in (x±d)2{\displaystyle (x\pm d)^{2}} umgewandelt werden. Dann steht die Baugleichung in der leicht lösbaren Knotenform zur Verfügung. Zuerst wird die Beziehung normalisiert, indem man sie durch den führenden Koeffizienten (hier 3) teilt:

Jetzt kommt die tatsächliche quadratische Addition: Die rechte Hälfte muss hinzugefügt werden, damit eine binomiale Formeln (hier die zweite) nach hinten angewendet werden können. Der rechte Teil wird nach der Binomialformel transformiert, der rechte Teil wird vereinfacht:

*-52 =±12 {\displaystyle x-{\frac {5}{2}}}=\pm {\frac {1}{2}}}}, so zu den beiden Lösungsansätzen x1=52+12=3{\displaystyle \displaystyle x_{1}={\frac {5}{2}}}}+{\frac {1}{2}}=3} und x2=52-12=2{\displaystyle x_{2}={\frac {5}{2}}-{\frac {1}{2}}}=2}. Sie können auch quadratische Gleichungen mit einer der allgemeinen Lösungsfunktionen auflösen, die mit Unterstützung der Quadrataddition abgeleitet wurden. In der allgemeinen qadratischen Formel ax2+bx+c=0{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} sind die Lösungen: Wenn die oben beschriebene Diskriminanz D=b2-4ac{\displaystyle D=b^{2}-4ac} positiv ist, muss für die Lösungsansätze die Ursache für eine negative Ziffer berechnet werden.

In dem Nummernkreis der realen Nummern gibt es dafür keine Lösung. Für den Umfang der Komplexzahlen kommt D=i-D{\displaystyle {\sqrt {D}}}=i{\sqrt {-D}}} zum Einsatz. Mit diesem Begriff wird der Imaginärteil der beiden Konjugatlösungen festgelegt, eine mit einem positiven Zeichen, die andere mit einem negativen Zeichen. Das Wort vorher mit -b2a{\displaystyle -{\tfrac {b}{2a}}} wird zum ständigen realen Teil der beiden Lösungen: x1,2=-b2a±i?ac-b22a{\displaystyle x_{1,2}=-{\frac {b}{2a}}}}}\cdot {\frac {\sqrt {4ac-b^{2}}}}}{2a}}}}

Die allgemeine Gestalt erhält man durch Formen nach der Methode der Quadratzusatz: In Österreich wird diese Formulierung als kleine Lösungsmittelformel bezeichnet. Ähnlich wie bei der a-b-c-Formel gibt es, wenn die Diskriminanz D=p2-4q{\displaystyle D=p^{2}-4q} positiv ist, keine Lösung im Bereich der Realzahlen. Das Ergebnis der Komplexlösungen: Die Formeln resultieren aus der normalen Gestalt der Quadratgleichung durch quadratische Addition: Eine weitere Ableitung der Formeln ist das Setzen eines=1{\displaystyle a=1}, b=p{\displaystyle b=p} und c=q{\displaystyle c=q} in der a-b-c-Formel und das Zeichnen des Nenners 2 in die Stammwurzel.

Anhand der Lösungsansätze kann das quadratisch normalisierte Vieleck in lineare Faktoren zerlegt werden: Besonders wenn p{\displaystyle p} und q{\displaystyle q} ganze Zahlen sind, ist es möglich, schnell eine Lösung zu suchen, indem man ausprobiert, ob Trennwandpaare von q{\displaystyle q} als sum -p{\displaystyle -p} mit etwas Übung resultieren. Zum Beispiel für das Beispiel für: für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel für das Beispiel x^{2}+4x+3=0, x1=-1{\displaystyle x_{1}=-1} und x2=-3{\displaystyle x_{2}=-3} durch Diskontinuität 3=(-1)(-3)(-3)} mit (-1)+(-3)=-4{\displaystyle (-1)+(-3)=(-3)} mit (-1)

Bei numerischer Bestimmung der Lösungsansätze, die sich um Größenordnungen von einander abweichen, kann das Aussterben durch die folgende Variante der oben genannten Formel umgangen werden:? Bei der Verwendung der p-q-Formel wird zunächst die generelle Formel in die normale Formel umgewandelt, indem die Formel durch 4 geteilt wird: also auch x1=-2{\displaystyle x_{1}=-2} und x2=5{\displaystyle x_{2}=5}.

Mithilfe der Dekompositionen -10=(-2)?{\displaystyle -10=(-2)\cdot 5} und 5-2=3{\displaystyle 5-2=3} bekommt man mit dem Theorem von Vieta die gleichen Lösungsansätze. mit vielschichtigen Beiwerten a, b, c?C{\displaystyle a, b, c\in \mathbb {C} a?\displaystyle a\neq 0} hat immer zwei komplizierte Lösungsansätze z1,z2?C{\displaystyle z_{1},z_{2}\ in \mathbb {C} Wie im realen Anwendungsfall können die Lösungsansätze durch quadratische Addition oder mit den oben genannten Lösungsfindungen berechnet werden.

Im Allgemeinen muss jedoch eine Wurzel aus einer reellen Zahl errechnet werden. Daraus resultieren die beiden Lösungsansätze z1=1{\displaystyle z_{1}=1} und z2=i{\displaystyle z_{2}=\mathrm {i} }. } mit den Merkmalen p, q eines Bodys oder Ring eine quadratische Formel. Im Körper und allgemein in Integritätsdomänen hat es maximal zwei Lösungsansätze, in willkürlichen Läufen kann es mehr als zwei haben.

Liegen solche vor, werden sie auch in Kommutativringen mit der p-q-Formel erhalten, wenn die Eigenschaft des Rings nicht gleich 2 ist. Allerdings müssen alle potenziellen Quadratwurzel des Diskriminanten berücksichtigt werden. 1}eines der folgenden Symbole und kommt mittels x2=?i=0n-1ai?i{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}a_{i}\varrho ^{2i}} bei einem linearem Gleichungssystem für die n Beiwerte ai von F2{displaystyle \mathbb {F} an.

die vier Lösungsansätze 1, 2, 5 und 4. p=xy=(s2+e)?(s2-e)=(s2)2-e2{\displaystyle p=xy=\frac({\frac {s}{2}}}+e\right)\cdot \left({\frac {s}{2}}}}}-eright)=\left({\frac {s}{2}}}}-eright)=\left({\frac {s}{2}}}{2}}}-e^^{2}}\right em = 14s2-p{\displaystyle e={\sqrt {\frac {1}{4}s^{2}-p}}}}. Die folgende Aufteilung des Feldes zeigt sich auf dem Foto (links): Al-Chwarizmi hat als erster sechs verschiedene Arten von Quadratgleichungen um 825 n. Chr. in dem Werk al-Kit?b al-mu?ta?ar f? ?is?b al-?abr wa-?l-muq?bala ("Das kurzegefasste Büchlein über die Rechenverfahren durch Ergänzungen und Ausgleichen") dargestellt.

Aus der Unkenntnis von Negativzahlen und Null ergibt sich die notwendige Bedeutung der unterschiedlichen Arten. Auf der Grundlage eines numerischen Beispiels gab er eine geometrische Lösungsmethode für alle Arten an, wobei nur Positivlösungen möglich waren. Die Root ist die Auflösung x{\displaystyle x} und die Fähigkeit ist das Feld der Auflösung x2{\displaystyle x^{2}}: Zu den Eigenschaften, die den Roots entsprechen (heute: ax2=bx{\displaystyle ax^{2}=bx}), zu den Eigenschaften, die der Nummer entsprechen (heute: ax2=c{\displaystyle ax^{2}=c}), zu den Roots, die einer Nummer entsprechen (heute: ax2=bx{\displaystyle ax^{2}=bx}), zu den Roots, die einer Nummer entsprechen (heute: ax2=c{\displaystyle ax^{2

Die Eigenschaft und die Roots, die der Nummer entsprechen (heute: ax2+bx=c{\displaystyle ax^{2}+bx=c}), die Roots und die Nummer, die der Eigenschaft entsprechen (heute: ax2=bx+c{\displaystyle ax^{2}=bx+c) . Beispielsweise soll die Formel, wie sie in al-Chwarizmi vorkommt, als Sonderfall von x2+bx=c{\displaystyle x^{2}+bx=c} mit b,c>0{\displaystyle b,c>0} symmetrisch aufgelöst werden (siehe Bild).

Die rechte Hälfte der Formel nimmt man als quadratisches EFIH der Blattlänge x{\displaystyle x} (und damit den Bereich x2{\displaystyle x^{2}}) und zwei rechteckige DEG und BCFE mit den Bereichen 5{\displaystyle 5} und x{\displaystyle x} (und damit den Bereich 5x{\displaystyle 5x}). Die Quadrate und die beiden Vierecke werden wie im Foto dargestellt zu einem Gnom mit den Ecken BCIGDE zusammengefügt.

Geschmeidig machen mit dem quadratischen ABED der Blattlänge 5{\displaystyle 5}. und damit der Bereich 25{\displaystyle 25}) zum quadratischen ACIG, dieser hat den Bereich 39+25=64{\displaystyle 39+25=64}. Auf der anderen Seite hat dieses Viereck ACIG nach der Herstellung die Schenkellänge 5+x{\displaystyle 5+x} und damit die Grundfläche (5+x)2{\displaystyle (5+x)^{2}}. So wird die quadratische Formel "quadratisch ergänzt" zu (x+5)2=64{\displaystyle (x+5)^{2}=64} mit der (positiven) Auflösung x=3{\displaystyle x=3}.

Ein neuer Lösungsansatz für eine quadratische Rechnung wurde durch den Wurzeltheorem von Vieta angeboten, der 1615 postum in seinem Buch De Aequationem Recognitione et Emendatione Tractatus duo veröffentlicht wurde. In 1637 René Descartes beschrieben in seinem Papier La Géométrie eine Methodik für die Auflösung quadratischer Gleichungen mit Kompassen und Linealen. Darüber hinaus stellte er fest, dass Gleichungen höherer Grade im Allgemeinen nicht allein mit Kompassen und Linealen aufzulösen sind.

Aus der Lösung von quadratischen Gleichungen - pq-Formel und Midnight-Formel und das Theorem von VIETA.

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