Stetigkeit

. Continuity ist ein mathematisches Verständnis, das in den Bereichen Analyse und Struktur von entscheidender Bedeutung ist. Konkret ist Continuity eine Fähigkeit, die gewissen Funktionalitäten zwischen zwei Topologieräumen zugeschrieben wird. Funktionalitäten, die diese Eigenschaften haben (die kontinuierlichen Funktionen), sind mit den Topologien der beiden Bereiche kompatibel.

Steady Functions haben daher in der Thematik und Analyse eine vergleichbare Bedeutung wie Heteromorphismen in der Algorithmus. Lebhaft gesagt, ist eine function kontinuierlich, wenn sie keine "Sprünge" macht, oder genauer gesagt, wenn man die Veränderung von Funktionswerten beliebig begrenzen kann, indem man sich auf ausreichend kleine Veränderungen im Parameter begrenzt.

The function f :[0,?[?[0,?[,f(x):={x,x?,x+1,x>1{\displaystyle f\colon[0,\infty [ 0,\infty \infty [,\ f(x):=\links\{{{\begin{array}{ll}x\, &x\leq 1,\x\x+1 \\\, &x>1}}}Ende {right. Sprünge " an der Position x=1{\displaystyle x=1} von Funktionswert 1 zu Funktionswert 1. Wenn die Funktionalität eine Verbindung aus naturwissenschaftlicher oder technischer Sicht darstellt, tritt ein solches Phänomen als unvorhergesehen auf (Natura non facit saltus).

Wenn beispielsweise die Funktionalität das Verhältnis zwischen der beim Zyklus aufgewendeten Leistung und der erreichbaren Drehzahl darstellt, wäre es verwunderlich, wenn eine geringfügige Erhöhung der an einem Punkt aufgewendeten Leistung zu einer plötzlichen Verdopplung der Drehzahl führen würde. Eine solche Funktionalität scheint auch in anderen Bereichen des Lebens auffällig. Wenn beispielsweise die Funktionalität das Verhältnis zwischen Arbeitszeiten und Löhnen darstellt, ist es wieder einmal verwunderlich, dass zu einem Zeitpunkt die Löhne doppelt so hoch sind, wenn die Erhöhung der Arbeitszeiten nur geringfügig ist.

Mit dem mathematischen Kontinuitätskonzept wird angestrebt, genau die Aufgaben zu erfassen, die kein solches "willkürliches Verhalten" aufweisen. In der spezifizierten Funktionalität f{\displaystyle f} handelt es sich daher nicht kontinuierlich, wodurch die Diskontinuität auf den Zeitpunkt x=1{\displaystyle x=1} beschränkt werden kann. An anderer Stelle ist die Funktionalität allseits konstant. Ursprünglich wurde das Konsistenzkonzept für reale und vielschichtige Funktionalitäten erarbeitet.

Seither ist Konsistenz eines der grundlegenden Konzepte der heutigen Moral. Diese Erläuterung illustriert das Konzept der Kontinuität recht gut, aber man sollte sich bewusst sein, dass diese Sichtweise verschiedene Einschränkungen hat. Daher ist es in der rechnerischen Übung wichtig, sich immer auf die im Nachfolgenden vorgestellten genauen Begriffsbestimmungen zu berufen. Am Punkt x=1{\displaystyle x=1} eine Änderung des Verhaltens.

Allerdings ist die dort vorhandene Funktionalität noch konstant. Für die Root-Funktion x?x{\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}} ist die Anzeige kontinuierlich auf[0,?[{\displaystyle [0,\infty [}]. Nähern Sie sich der Position x=0{\displaystyle x=0}, wird die Änderungsrate immer höher sein. Wenn man sich schliesslich solche Aufgaben wie die Weierstraßfunktion ansieht, so ist es eine mathematisch kontinuierliche Aufgabe, für die jedoch an keiner beliebigen Position eine "Änderungsrichtung" bestimmt werden kann (oder besser gesagt: es kann nirgends in den Grafiken eine Berührungslinie erzeugt werden).

Andererseits wäre es verfehlt, die oben beschriebene Funktionalität f{\displaystyle f} als Prototypen einer diskontinuierlichen Funktionalität zu betrachten. Ein solcher Prototyp wird vielmehr durch die Vorstellung erhalten, dass der Funktionswert für jedes einzelne Element einzeln gewürfelt würde. Solch eine unübersichtliche Funktionalität wäre allgegenwärtig. Man kann auch die These, dass Naturprozesse immer durch kontinuierliche Prozesse modellierbar sind, durchaus bedenken.

Betrachten wir die Zahl der umgefallenen Bälle in Abhängigkeit von der Abstoßungsgeschwindigkeit, überspringt diese von 0 auf die Zahl eins diskontinuierlich bei einem gewissen Drehzahlwert, was jedoch dadurch kompensiert werden kann, dass die physischen Verhältnisse auf dem Billardtisch nie exakt definiert werden können. Augustin-Louis Cauchy und Bernard Bozen haben zu Beginn des neunzehnten Jahrhundert unabhÃ?ngig von einander eine KontinuitÃ?tsbestimmung vorgenommen.

Man nannte eine funktionskontinuierliche, wenn auch ausreichend kleine Veränderungen des Argumentes nur zu willkürlich kleinen Veränderungen des Funktionswertes führten. Auf dieser Seite f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y} mit X,Y?R{\displaystyle X,Y\subseq \mathbb {R} eine echte Funktionalität.

Wenn diese Voraussetzung nicht erfuellt ist, wird f{\displaystyle f} in ?{\displaystyle \xi } als unterbrochen bezeichnet. Hinweis: Anstelle von "Konsistenz in ?{\displaystyle \xi }" wird oft von "Konsistenz in dem Point ?{\displaystyle \xi }" oder "Konsistenz in dem Point ?{\displaystyle \xi }" gesprochen. Um die Kontinuität zu definieren, gibt es zwei weitere Zustände, die dem (1) entsprechen und daher gelegentlich verwendet werden:

Er ist kontinuierlich in ?{\displaystyle \xi f}, wenn für irgendeine Sequenz konvergent zu ?{\displaystyle \xi uhxi } k?N{\displaystyle (x_{k})_{k\in \mathbb {N} In ? ist f{\displaystyle f} konstant, wenn für jede Umwelt von f (?){\displaystyle f(\xi f (} in Y{\displaystyle Y} der Archetyp f-1(U){\displaystyle f^{-1}(U)} eine Umwelt von ?{\displaystyle \xi ist.

Der Zustand (2), auch Folgekriterium oder Folgekriterium oder Folgekriterium bezeichnet, verdeutlicht, warum kontinuierliche Funktionalitäten in der Struktur eine vergleichbare Aussagekraft haben wie Heteromorphismen in der Algen. Ebenso kann die Abfolge von Funktionsablauf und Grenzbildung für eine kontinuierliche Arbeitsweise umgekehrt werden. Bei einem isolierten Eintrag von ?{\displaystyle \xi } in X{\displaystyle X} ist die Voraussetzung immer gegeben.

Bei konstanter f{\displaystyle f} ist die Voraussetzung immer gegeben. Bei identischen X=Y{\displaystyle X=Y} und f{\displaystyle f} ist die Voraussetzung immer gegeben. Im Normalfall werden in der Regel solche Funktionalitäten betrachtet, deren Definitionsumfang X{\displaystyle X} ein reales Zeitintervall ist. ein weiteres Set, das das Abbild von f{\displaystyle f} beinhaltet, so dass f{\displaystyle f} auch als eine funktionale Eigenschaft von Y?{\displaystyle Y'} verstanden werden kann.

In ? ist diese Funktionalität konstant, und zwar exakt dann, wenn sie das Original ist. Bei einer Untermenge von X{\displaystyle X'}, die ?{\displaystyle \xi \xi beinhaltet, führt die Kontinuität von f{\displaystyle f} in ?{\displaystyle \xi \xi auch zur Kontinuität der auf X? beschränkten Funktionalität X'} in ?{\displaystyle \xi \xi \displaystyle ist.

Die Inversion von (8) trifft zu, wenn X?{\displaystyle X'} eine Arbeitsumgebung von ?{\displaystyle \xi } zu X{\displaystyle X} ist. Es wird davon ausgegangen, dass f{\displaystyle f} immer in ?{\displaystyle \xi } ist. und g:Y?Z{\displaystyle g\colon Y\to Z} eine weitere echte Produktion. Bei einer Konstante von g{\displaystyle g} in f (?){\displaystyle f(\xi )} ist die Zusammensetzung g?f{\displaystyle g\circ f} in ?{\displaystyle \xi } konstant.

Außerdem, g:X?R{\displaystyle g\colon X\to \mathbb {R} eine weitere in ?{\displaystyle \xi } kontinuierliche Funktionalität. Die punktuell festgelegten Funktionalitäten f+g{\displaystyle f+g}, f?g{\displaystyle f\cdot g} und fÃ?displaystyle {\tfrac {f}{g}}} sind dann auch in ?{\displaystyle \xi } konstant. In letzterem Falle muss davon ausgegangen werden, dass g{\displaystyle g} unter ?{\displaystyle \xi } keine Null hat.

Beachten Sie, dass aus (5) und (11) hervorgeht, dass alle linearen Kombinationen von Funktionskonstanten in ?{\displaystyle \xi } wieder konstant in ?{\displaystyle \xi } sind. f:R?R,f(x):={x,x?Q,0,x?R?Q{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ist konstant bei 0 und instabil an jeder anderen Position. In diesem Beispiel wird gezeigt, dass die Kontinuität einer funktionalen Einheit in einem bestimmten Bereich noch wenig über das Funktionsverhalten als Ganzes ausmacht.

Daher sind Menschen in der Regel vor allem an Funktionalitäten beteiligt, die in jedem Zeitpunkt ihres Definitionsbereichs konstant sind. Sie werden dann als kontinuierliche Aufgaben bezeichet. So kann eine kontinuierliche Funktionalität also als eine die eine ( und damit alle) der Zustände (1)-(3) in jedem Zeitpunkt ihres Definitionsbereichs erfüllende Funktionalität beschrieben werden.

Allerdings gibt es zwei weitere gleichwertige Voraussetzungen, die dieses Konzept der Kontinuität charakterisieren: Das Umkehrbild f-1 (O){\displaystyle f^{-1}(O)} jeder geöffneten Subgruppe O{\displaystyle O} von Y{\displaystyle Y} ist eine geöffnete Subgruppe von X{\displaystyle X}. Wenn das Originalbild f-1(A){\displaystyle f^{-1}(A)} jeder vollständigen Teilsammlung A{\displaystyle A} von Y{\displaystyle Y} eine vollständige Teilsammlung von X{\displaystyle X} ist, ist f{\displaystyle f} kontinuierlich.

Weil in vielen FÃ?llen die KontinuitÃ?t in einem Zeitpunkt Ã?berhaupt nicht wichtig ist, wird teilweise auch die Kondition (12) als die Bestimmung einer kontinuierlichen Aufgabe gegeben. Auf dieses globale Konzept der Kontinuität können die Anweisungen (5), (6), (7), (8), (10), (11) unmittelbar übertragbar sein. Besonders angenehm sind die stabilen Funktionalitäten in Echtzeit.

Sie werden auch oft als Funktion bezeichet, deren Grafik ohne Entfernen des Stifts dargestellt werden kann. Bei konstantem f{\displaystyle f} und X{\displaystyle X} ist ein reales Zeitintervall, trifft folgendes zu: (14) Das Image f(X){\displaystyle f(X)} ist auch ein Zeitintervall (Zwischenwertsatz). Bei vollständiger und eingeschränkter X{\displaystyle X} ist dies auch für f(X){\displaystyle f(X)} der Fall.

Bei einer bijektiven f{\displaystyle f} ist f{\displaystyle f} strikt monoton (steigend oder fallend). Auch die umgekehrte Funktionalität f-1:Y?X{\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X} ist kontinuierlich. Daraus ergibt sich bereits aus den Properties (5), (6) und (11), dass jede Rationalfunktion in ihrem Bereich definiert ist, vor allem jede polynomiale Funktionalität im gesamten R{\displaystil \mathbb {R}. ist stabil.

Gemeinsam mit (16) und dann (10) ergibt sich, dass jede Machtfunktion mit rationalen Vertretern auf ihrem Definitionsumfang konstant ist. In der Tat sind auch alle realen Funktionalitäten, die durch eine Leistungsreihe dargestellt werden können, innerhalb ihres Annäherungsintervalls konstant. Daraus ergibt sich die Kontinuität der exponentiellen Funktion und der Trigonometriefunktionen sowie deren umgekehrte Funktion (insbesondere der Logarithmus).

Bei weiterer Anwendung der oben genannten permanenten Eigenschaften stellt man fest, dass alle Elementarfunktionen (insbesondere auch Powerfunktionen mit irrationalen Exponenten) in ihren Definitionsgebieten konstant sind. Beispielhaft für instationäre Zustände sind die Zeichenfunktion (instabil nur in 0), die Dreiecksfunktion (instabil in jedem Punkt) und die thomaesische Zustände (instabil exakt in allen Rationszahlen).

Der Satz aller kontinuierlichen Funktionalitäten von X{\displaystyle X} bis Y{\displaystyle Y} wird normalerweise C(X,Y){\displaystyle C(X,Y)} oder C0(X,Y){\displaystyle C^{0}(X,Y)} genannt. Das C steht für "kontinuierlich". Wenn der Bildbereich Y{\displaystyle Y} aus dem Zusammenhang hervorgeht oder Y=R{\displaystyle Y=\mathbb {R} Algebra aller realwertigen Funktionalitäten auf X{\displaystyle X}. Zwei kontinuierliche Funktionalitäten von X{\displaystyle X} bis Y{\displaystyle Y} passen bereits, wenn sie auf eine dichte Subgruppe von X{\displaystyle X} passen.

eine maximal zählbare verdichtete Untermenge hat, kann man daraus schließen, dass die Dicke von C(X){\displaystyle C(X)} die Dicke des Forts ist (wenn X{\displaystyle X} nicht frei ist). Der Satz aller Funktionalitäten von X{\displaystyle X} bis R{\displaystyle \mathbb {R} eine viel grössere Dicke hat (zumindest wenn X{\displaystyle X} ein Abstand mit mehr als einem Glied ist).

Dies kann so interpretiert werden, dass die Kontinuität zwischen realen Funktionalitäten eine "seltene" Fähigkeit ist. Das steht im Widerspruch zur alltäglichen Erfahrung, da alle Elementarfunktionen konstant sind. Bei den oben genannten Alternativdefinitionen von Kontinuität kann man leicht auf viel allgemeingültigere Sachverhalte übergehen, da viele der spezifizierten Merkmale von kontinuierlichen Funktionalitäten auch generalisierbar sind.

Dieses generalisierte Konzept der Kontinuität ist von entscheidender Bedeutung für die Struktur und damit zusammenhängende Bereiche der mathematischen Forschung (z.B. Funktionsanalyse). Anmerkung: Die Wörter "Funktion" und "Illustration" sind in der mathematischen Welt gleichbedeutend. Im vorliegenden Beitrag wird der Begriff der Funktionalität durchgängig dazu genutzt, die Kontinuität des Kontinuitätsprinzips zu unterstreichen. \displaystyle \left(X,d_{X}\right)} und (Y,dY){\displaystyle \left(Y,dY)} meterische Räumlichkeiten, f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y} eine function und ??X{\displaystyle assist. \xi men ux}.

Eine Konstante ist die Funktionalität f{\displaystyle f} in ?{\displaystyle \xi }, wenn es einen ? gibt >0{\displaystyle \varepsilon >0} zu jedem wwww: 0\displaystyle \delta >0}, sei X{\displaystyle X} und Y{\displaystyle Y} zu Topologieräumen, f: X?Y{\Display Style f\colon X\to Y} eine Funktionalität und ??X{\Display Style \xi \xi \in X}. ist in ? immer noch kontinuierlich genannt, wenn f{\displaystyle \xi } die Bedingungen (3) erfuellt.

Funktionalitäten, die die schwache Kondition (2) erfuellen, werden sequentiell in ?{\displaystyle \xi } aufgerufen. Beides ist wichtig, aber die Kontinuität der Konsequenzen wird viel weniger oft erforscht als die "echte" Kontinuität. Entspricht X{\displaystyle X} dem ersten Axiom der Zählbarkeit (z.B. ist ein metrisches Leerzeichen), sind die beiden Terme identisch. Ebenso findet man in der allgemeinen Lage ein dem ( (2) vergleichbares Merkmal, das die Kontinuität charakterisiert:

Die f f ist exakt dann stabil in ?{\displaystyle \xi }, ob für jeden X{\displaystyle X} gegen ?{\displaystyle \xi } konvergentes Netzwerk (xi)i?I{\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}} das Netzwerk Der Anzeigestil ist {\bigl (}f(x_{i}){\bigr )}_{i\in I}} vereint in Y{\displaystyle Y} gegen f(?){\displaystyle f(\xi )}. In diesem allgemeinen Zusammenhang ist eine kontinuierliche Funktionalität eine kontinuierliche Funktionalität, die in jedem Punkt ihres Definitionsbereiches kontinuierlich ist.

Die ( (8) und (9) sorgen dafür, dass die Kontinuität eine örtliche Angelegenheit ist. Konkret, wenn zwei Funktionalitäten in einer Umgebungen eines Punkts übereinstimmen, sind sie in diesem Zeitpunkt entweder beide kontinuierlich oder beide diskontinuierlich. In diesem Fall ist die gleiche Zuordnung von X{\displaystyle X} zu Y{\displaystyle Y} kontinuierlich, wenn die Struktur auf X{\displaystyle X} feiner ist als die auf Y{\displaystyle Y} oder ihr entspricht.

Im Allgemeinen ist die Konsistenzbedingung einfacher zu erfüllen (und damit weniger aussagekräftig), je feiner die Struktur auf dem Definitionsfeld oder je grober die Struktur auf dem Zielsatz ist. Die Voraussetzung ist vor allem dann immer gegeben, wenn der Definitionsraum die eigenständige oder die Zielsetzung die eigenständige topologische Beschaffenheit hat.

Dabei ist für Y{\displaystyle Y} neben R9displaystyle \mathbb {R} der Großbuchstabe der komplex bewerteten kontinuierlichen Funktion so bedeutsam, dass man anstelle der Rechtschreibung C(X,\mathbb {C} auch die einfache Rechtschreibung C(X){\displaystyle C(X)} verwendet, wenn man sich überlegt, dass man komplex bewertete Funktionalitäten betrachtet. Algebra aller komplexen Funktionalitäten auf X{\displaystyle X}.

Ebenso im Komplex ist es gültig, dass jede rationelle Funktionalität auf ihrem Definitionsgebiet, vor allem also jede polynomielle Funktionalität auf dem gesamten C{\displaystyle \mathbb {C} ist stabil. Gleichermaßen sind alle vielschichtigen Funktionalitäten, die durch eine Leistungsreihe dargestellt werden können, innerhalb ihres Annäherungskreises konstant. Somit sind auch die komplizierte exponentielle und die komplizierte trigonometrische Funktionalität konstant.

Darüber hinaus ist die komplizierte Verbindung eine kontinuierliche Aufgabe. Das Statement (16) über die Kontinuität inverser Funktionen hingegen ist auf C{\displaystyle \mathbb {C} nicht so leicht zu machen Zum Beispiel die Function ?:[0,1[?{z?C|||z|=1},??ix{\displaystyle \phi \colon [0,1[\rightarrow \{z\in urban {C}} Bijektive und stabile Karte für e^{2\pi ix}}. Allerdings ist die umgekehrte Funktionsweise von ?{\displaystyle \phi } in Ziffer 1 diskontinuierlich. Die Fragestellung nach der Kontinuität von logarithmischen und root-Funktionen ist daher in der Komplexvariante etwas schwerer zu beziffern als in der realen Fallgestaltung.

Ein zusammenhängender Raum unter einer kontinuierlichen Arbeitsweise wird wieder als zusammenhängendes Abbild dargestellt. Das Abbild eines kleinen Raums unter einer kontinuierlichen Arbeitsweise ist wieder sehr klein. Zwei kontinuierliche Funktionsbereiche mit gleichem Definitionsumfang, deren gemeinsames Ziel ein Hausdorff-Raum ist, einigen sich bereits, wenn sie sich auf eine dichte Untermenge ihres allgemeinen Definitionsraums einigen.

Kontinuierliche Funktionsmerkmale werden durch die Zustände (12) und (13) über die Merkmale der Archetypen der geöffneten oder geschlossenen Teilsätze des Zielsatzes charakterisiert. Anmerkung: (12') Eine Funktionalität f{\displaystyle f} von einem Topologieraum X{\displaystyle X} zu einem Topologieraum Y{\displaystyle Y} bedeutet offen, wenn das Image f(O){\displaystyle f(O)} von jeder geöffneten Untermenge O{\displaystyle O} von X{\displaystyle X} eine ungefähre Untermenge von Y{\displaystyle Y} ist.

Es wird eine Funktionalität f{\displaystyle f} von einem Topologieraum X{\displaystyle X} zu einem Topologieraum Y{\displaystyle Y} als fertiggestellt bezeichnet, wenn das Image f(A){\displaystyle f(A)} jeder fertiggestellten Untermenge f(A)} A{\displaystyle A} von X{\displaystyle X} ist eine fertiggestellte Untermenge von Y{\displaystyle Y}. Auch wenn diese Begriffsbestimmungen etwas simpler wirken als die korrespondierenden Kennzeichnungen von kontinuierlichen Funktionalitäten, sind die Bezeichnungen "offene Funktion" und "abgeschlossene Funktion" viel weniger bedeutsam als der Ausdruck kontinuierliche Position.

In der Realität geht es in der Regel darum, ob eine bereits als konstant anerkannte Funktionalität eines der beiden Merkmale (oder sogar beide) ausfüllt. Ein kontinuierlicher Betrieb von einem Kompaktraum in einen Hausdorffraum ist immer gewährleistet. In der Tat kann nahezu keines der bisher für kontinuierliche Messungen gegebenen Resultate auf geöffnete oder geschlossene Messungen umgestellt werden.

Letztere zeigen, dass man bei der Festlegung einer Category, deren Gegenstände topologische Flächen sein sollen, die Morfismen der kontinuierlichen Funktion, der geöffneten Funktion oder der geschlossenen Funktion auswählen kann, um so drei unterschiedliche Categories mit der gleichen Objektklasse zu erzeugen (tatsächlich gibt es offensichtlichere Optionen):

So könnte man beispielsweise die kontinuierlichen und geöffneten Funktionalitäten als Morphium wählen). Nach der Aussage, dass Kontinuität bei weitem das bedeutendste der drei Konzepte ist, ist die Rubrik Top der Topologieräume die Rubrik, in der Wortmorphismen die kontinuierlichen Funktionalitäten sind. Diese Bezeichnung sollte nicht mit dem Terminus completed function gleichgesetzt werden, obwohl natürlich jeder Bediener auch eine function ist.

Bei der Überprüfung der Homomorphie-Eigenschaft der inversen Funktionen wird die Tatsache genutzt, dass die arithmetischen Operationen immer ausfÃ??hrbar sind (im Definitionsbereich) und immer ein einmaliges Element haben (in der Zielsammlung). Ein kontinuierlicher Funktionsablauf kann als eine Funktionsweise bezeichnet werden, deren Applikation mit der Bildung von Grenzwerten (von Netzwerken) ausgetauscht werden kann. Weil jedoch Netzwerke im Definitionsumfang nicht zusammenlaufen müssen und Netzwerke in der Zielsammlung auch gegen mehrere Grenzen zusammenlaufen können, entfällt hier eine entsprechende Angabe über Stornierungsfunktionen.

Deutlich wird dies beispielsweise durch die bidirektionale kontinuierliche Funktionalität ?:[0,1[?{z?C|||||z|=1},z?C?ix{\displaystyle \phi \colon[0,1[\rightarrow \{z\in \mathbb {C} Wenn der Definitionsraum klein ist (dann hat jedes Netzwerk mindestens ein zusammenhängendes Subnetz) und die Zielgröße ein Hausdorff-Raum ist (dann sind die Grenzen eindeutig), ist die Kontinuität der inversen Funktionsweise einer kontinuierlichen Verjüngung garantiert, was wiederum der Homomorphie als Parallele zum Konzept des Gleichmorphismus Rechnung trägt.

Generell wird eine Bijektivfunktion zwischen zwei Topologieräumen als Homöomorphie bezeichnet, wenn eine ( "und damit alle") der nachstehenden gleichwertigen Voraussetzungen gegeben ist: a) Die Funktionen und ihre umgekehrte Funktionen sind kontinuierlich. b) Die Funktionen und ihre umgekehrte Arbeitsweise sind offen. c ) Die Funktionen und ihre umgekehrte Funktionen sind beendet. d) Die Funktionalität ist kontinuierlich und offen.

e) Die Aufgabe ist kontinuierlich und vollständig. Es ist zu beachten, dass (d) und (e) für nicht-bijektive Aufgaben nicht gleichwertig sein müssen, auch wenn die Existenzberechtigung der inversen Aufgabe für die Festlegung der Rahmenbedingungen nicht erforderlich war. In mehreren Variabeln wird eine Funktionalität, deren Definitionsgebiet ein cartesisches Erzeugnis ist, auch als Funktionalität bez.

Bei einem Produkt aus zwei Topologieräumen können die nachfolgenden Versionen auf alle (!) beliebigen (auch unendlichen) Geräte ausgedehnt werden. Sei X{\displaystyle X}, Y{\displaystyle Y} und Z{\displaystyle Z} Topologiebereiche und f:X×Y?Z{\displaystyle f\colon X\times Y\to Z} eine Funktionalität in zwei Variabeln. F{\Anzeige Stil f} bedeutet kontinuierlich im ersten Parameter, wenn für jedes y0?Y{\Anzeige Stil y_{0}\in Y} die Funktionalität fy0:X?Z,x?f(x,y0){\Anzeige Stil f_{y_{0}}}}\colon X\to Z,x\mapsto f(x,y_{0})} kontinuierlich ist.

Die Kontinuität wird im zweiten Parameter entsprechend festgelegt. Wenn der Funktionsumfang f{\displaystyle f} kontinuierlich ist (hier wird die Produkt-Topologie auf X×Y{\displaystyle X\times Y} angenommen), dann ist f{\displaystyle f} auch in beiden Parametern kontinuierlich. Sie können sich leicht davon überzeugen, dass diese Funktionalität in beiden Parametern gleich ist (beachten Sie z.B., dass f0{\displaystyle f_{0}} auch gleich Konstante ist).

Der Funktionsumfang ist in Point (0,0){\displaystyle (0,0)}, aber nicht kontinuierlich. Der Bildschirmaufbau hat daher den Konstantenwert 12{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}} und nähert sich daher nicht dem Funktionswert O an der betreffenden Position an. Das Gegenteil ist viel einfacher: Für eine Funktionalität f:X?Y×Z{\displaystyle f\colon X\to Y\times Z} gibt es (klar definierte) Aufgaben g:

Und dann ist f{\displaystyle f} kontinuierlich, und zwar exakt dann, wenn g{\displaystyle g} und h{\displaystyle h} sind. In vielen Bereichen der mathematischen Forschung ist der Gedanke der Kontinuität von entscheidender Wichtigkeit. Diese Angabe erfolgt, wenn die die Algebraische Gliederung definierende(n) Verbindung(en) kontinuierliche Funktion (en) in Bezug auf die betrachtete Thematik sind.

So ist es sehr leicht, eine Topologiegruppe, einen Topologiering / Körper und einen Topologievektorraum zu definieren. Wenn man zwei Proben einer solchen Art (d.h. etwa zwei Topologiegruppen ) hat, ist es sinnvoll, die mit beiden Bauwerken kompatiblen und d. h. kontinuierliche Homomorphosen betreffenden Funktionalitäten zwischen diesen beiden zu ergründen.

So werden beispielsweise in der Funktionsanalyse die Merkmale von (Räumen von) kontinuierlichen Linearantrieben eingehend erforscht. Übrigens, in allen erwähnten Bereichen ist ein homomorpher Zustand in jedem Moment entweder konstant oder unsicher. Bei vielen wichtigen Sätzen über die Funktionalität wird davon ausgegangen, dass sie kontinuierlich sind. Für eine kontinuierliche reelle Funktionalität in einem Zeitintervall kann eine Wurzelfunktion mit dem Riemannschen Integral (fundamentaler Analysesatz) bestimmt werden.

Die kontinuierliche Funktionalität einer nicht leeren gedrungenen und gewölbten Teilsammlung eines hausdorff' schen Topologievektorraums an sich hat einen Festpunkt (Schauder'sches Festpunkttheorem). Sie können auch das Prinzip der Kontinuität verwenden, um Quantitäten zu topologisieren. Lassen Sie f{\displaystyle f} eine Funktionalität zwischen zwei Sätzen sein, von denen einer bereits mit einer Struktur ausgestattet ist.

Man kann sich dann die Frage stellen, welche Form man am anderen Set auswählen sollte, damit die Funktionalität stabil wird. Zuerst scheint die Lösung offensichtlich: Im Bereich der Definition wÃ?hlt man die dezente Verschaltung, auf dem Ziel die triviale Verschaltung. Danach ist die Konsistenz von f{\displaystyle f} gewährleistet, aber normalerweise werden keine neuen Einsichten gewonnen.

Vielmehr ist es interessant, nach einer topologischen Struktur im Definitionsraum zu suchen, die so grob wie möglich und in Bezug auf f{\displaystyle f} immer noch konstant ist (oder nach einer, die auf dem Zielsatz so fein wie möglich ist). Wenn es beispielsweise möglich ist, eine Struktur auszuwählen, bei der der Definitionsumfang klein oder angrenzend ist, können die zugehörigen Resultate über kontinuierliche Funktionalitäten in solchen Bereichen genutzt werden, um Kenntnisse über f{\displaystyle f} oder das Abbild von f{\displaystyle f} zu erlangen.

Wenn man diese Betrachtungen auf ganze Funktionsfamilien generalisiert, kommt man zu den Bedingungen der ursprünglichen und der endgültigen Struktur. Eine gängige Methode zur Prüfung eines Objekts einer mathematischen Klasse ist die Prüfung der Reihe von Strukturerhaltungsfunktionen in besonders gut verstandenen Vertretern der Klasse. Als Modellflächen eignen sich in der Interpolation die Topologieräume [0,1]{\displaystyle[0,1]} und C{\displaystyle \mathbb {C}.

Aus Gründen der Kontinuität kann dieses Verfahren jedoch nur dann nützlich sein, wenn der zu untersuchende Ort mit zusätzlichen Anforderungen an den Untersuchungsraum gestellt wird. So ist beispielsweise in einem Bereich mit trivialer Thematik jede kontinuierliche komplex bewertete Funktionalität bereits jetzt gleichbleibend (dies trifft auch auf jede kontinuierliche Funktionalität zu, deren Zielsetzung ein Kolmogoroff-Bereich ist). Will man einen Topologieraum durch die Untersuchung seiner kontinuierlichen Aufgaben in einem der Musterräume begreifen, so sollte der Satz dieser Aufgaben zumindest punktgetrennt sein.

Dies wird nur durch das Vorhandensein einer ausreichend großen Anzahl von kontinuierlichen Funktionalitäten bestimmt. Der größte Teil der in der mathematischen Forschung geprüften Topologieräume gehört zu mindestens einer der beiden Größen. In der Tat verdeutlicht die allgemeine Fortsetzung von Thomas W. S. A. S. A. S. die Möglichkeit, in solchen Räumlichkeiten kontinuierliche Funktionalitäten aus dem ganzen Zimmer in den Musterraum in einen der Musterräume, die nur in einer geschlossenen (für normale Räume) oder geschlossenen (für lokale Kompakträume) Untermenge, in kontinuierliche Funktion aus dem ganzen Zimmer in den Musterraum zu definieren sind, fortzusetzen.

Bei einem Topologieraum formt X{\displaystyle X} C(X){\displaystyle C(X)}, der Satz kontinuierlicher komplexwertiger Funktionalitäten auf X{\displaystyle X}, wie bereits erwähnt, eine C{\displaystyle {C}mathb Dies ist natürlich kommutierend und ungewöhnlich (die Funktionalität mit dem Konstantenwert 1 ist das einzige Element). Beachten Sie, dass das Studium dieser Algen auch das Studium der Algen aller komplexen wertvollen Funktionalitäten auf jeder Gruppe beinhaltet, da jede Gruppe mit der individuellen Struktur ausgestattet werden kann, wobei alle Funktionalitäten kontinuierlich werden.

Urysohns Wortbestandteil sorgt dafür, dass C(X){\displaystyle C(X)} für die meisten bedeutenden Topologieräume ausreicht. Daher geht man in der Regel auf die unitale *-Subalgebra Cb(X){\displaystyle C_{b}(X)} der eingeschränkten, kontinuierlichen komplex bewerteten Funktionalitäten auf X{\displaystyle X} über. Bei kompakter Bauweise von X{\displaystyle X} kommt C(X)=Cb(X){\displaystyle C(X)=C_{b}(X)} zum Einsatz, wegen (15'). Hier wird jedoch das Subalgebra der für X{\displaystyle X} vorgesehenen Funktion C0 anstelle von Cb(X){\displaystyle C_{b}(X)} für einen lokalen kompakten Hausdorff-Raum X{\displaystyle X} berücksichtigt.

Hinweis: Mit Hilfe der GNS-Konstruktion kann jede nicht-kommutative C*-Algebra auch mit einer Algorithmus aus kontinuierlichen (linearen) Funktionalitäten gekennzeichnet werden. jede kontinuierliche, komplex bewertete Funktionalität kann einheitlich durch eine Abfolge von polynomialen Funktionalitäten angenähert werden. Bei einem topologischen Bereich wird eine kontinuierliche Funktionalität von [0,1]{\displaystyle[0,1]} nach X{\displaystyle X} auch als Weg in den X{\displaystyle X} bezeichne.

Die Grundgruppe ist ein Sonderfall einer Homotopie-Gruppe, deren Begriffsbestimmung auch auf dem Konzept der Kontinuität basiert. Weil kontinuierliche Funktionalitäten eine Vielzahl von angenehmen Merkmalen haben, ist es erwünscht, über Tools zu verfügen, mit denen die Kontinuität von Funktionalitäten nachgewiesen werden kann.

Das einfache Resultat in dieser Beziehung ist, dass eine reale oder vielschichtige Funktionalität an jeder beliebigen Position, an der sie unterschieden werden kann, konstant ist. ist immer kontinuierlich. und f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y} ein Linearoperator. Nach der Kontinuität von f{\displaystyle f} ergibt sich die Problematik, wenn sowohl X{\displaystyle X} als auch Y{\displaystyle Y} zudem eine zusätzliche Struktur haben.

Falls X{\displaystyle X} endlich dimensional ist, gibt es exakt eine Domänentopologie von Hausdorff auf X{\displaystyle X}, die diese Kompatibilität ausfüllt. In Bezug auf diese Thematik sind alle Linearoperatoren in jedem beliebigen Topologievektorraum kontinuierlich. In unendlichen dimensionalen Topologievektorräumen hingegen gibt es im Allgemeinen geradlinige Funktionalitäten (d.h. Linearoperatoren im Grundkörper), die nicht kontinuierlich sind. In Topologievektorräumen ist die 0-Funktion die einzig kontinuierliche linearfunktionelle.

Hahn-Banachs Theorem sorgt jedoch dafür, dass für hausdorffianische, lokal-konvexe Bereiche ein ausreichender Bestand an kontinuierlichen, geradlinigen Funktionalitäten vorhanden ist. In der Tat, die Kontinuität der Linearoperatoren zwischen lokalen konvexen Zwischenräumen kann wie folgt charakterisiert werden: Die X-Anzeigenart X und Y-Anzeigenart Y sind lokal konvex, f ist kontinuierlich, wenn für jede kontinuierliche halbnormale p-Anzeigenart f kontinuierlich ist, wenn für jede kontinuierliche halbnormale p-Anzeigenart p auf Y-Anzeigenart Y, die halbnormale p?f-Anzeigenart p\circ f ist kontinuierlich auf X-Anzeigenart X.

Handelt es sich bei X{\displaystyle X} überhaupt um einen normalisierten Bereich (allgemeiner um einen bornologischen Bereich), dann ist f{\displaystyle f} kontinuierlich, wenn es begrenzte Quantitäten auf begrenzte Quantitäten abbildet. der f{\displaystyle f} ist kontinuierlich. Dieses Merkmal wird auch als die Beschränkung von f{\displaystyle f} bezeichne. Beachten Sie, dass diese Funktion nicht mit der gewohnten Begriffsbestimmung für eingeschränkte Funktionalitäten gleichzusetzen ist.

Die fertiggestellten Diagramme können oft als Beweis für die Kontinuität verwendet werden, wenn X{\displaystyle X} und Y{\displaystyle Y} überhaupt Banach-Räume sind. \displaystyle X} und Y{\displaystyle Y}, topicologische Raum, ?{displaystyle \xi \in X} und f:X?{?}?Y{\displaystyle f\colon X\setminus \xi \xi \@ Y} eine Funtion. Man fragt sich, ob es möglich ist, f{\displaystyle f} auf allen X{\displaystyle X} weiterzuführen, so dass die Weiterführung in ?{\displaystyle \xi } kontinuierlich ist.

Bei einem isolierten Standpunkt von ?{\displaystyle \xi } von X{\displaystyle X} ist dies bei jeder Fortführung aufgrund von (4) derselbe. Daher ist man der Ansicht, dass ?{\displaystyle \xi } kein einzelner Point ist und Y{\displaystyle Y} ein Hauseffekt. Wenn die erforderliche Fortführung in dieser Konstellation vorhanden ist, wird gesagt, dass f{\displaystyle f} in ?{\displaystyle \xi }

durch den klar definierten Funktionswert) ist ständig erweiterbar. Die Verwendung des Tietze-Satzes zur Beantwortung dieser Fragestellung ist nicht möglich, da der Definitionsumfang von f{\displaystyle f} in der dargestellten Simulationssituation in X{\displaystyle X} nicht vollständig ist. In der Tat muss die Problematik der ständigen Komplementarität oft einzeln geklärt werden. das sind die Funktion x?xsin(1x){\displaystyle x\mapsto x\sin ({\tfrac {1}{x}})} und x?sin(1x){\displaystyle x\mapsto \sin({\tfrac {1}{x})}, dann kann die erste kontinuierlich in 0 (mit dem Zahlenwert 0) hinzugefügt werden, die zweite nicht.

Der Grund dafür ist, dass beide Funktionalitäten um das Ergebnis 0 herum schwingen, aber die Durchbiegungen zunächst immer mehr durch den Zusatzfaktor x{\displaystyle x} unterdrückt werden. Die de l'Hospital-Regel kann in vielen FÃ?llen verwendet werden, um eine positive Antwort auf die sich ständig ergÃ?nzende Erscheinungsweise von realen oder komplexen Gesichtspunkten zu geben.

Das Konzept der kontinuierlichen Erweiterbarkeit kann auch zur Bestimmung der Unterscheidbarkeit genutzt werden: In der oben genannten Situation stellen X{\displaystyle X} und Y{\displaystyle Y} eine Teilmenge von C{\displaystyle \mathbb {C} dar. und ?:X?Y{\displaystyle \phi \colon X\to Y} ist eine Funktionalität, dann ist der Differenzquotient von ?{\displaystyle \phi \phi uh in ?{\displaystyle \xi \xi ist eine Funktionalität von X?{?}{\displaystyle X\setminus uh uh uh uh, nach C{\displaystyle \math {C}

Bei ständiger Ergänzung dieser Funktionalität in ?{\displaystyle \xi \xi können ?{\displaystyle \phi \phi können in ?{\displaystyle \xi und der Mehrwert der Funktionalität zum Differenzquotienten ist die Herleitung von ?{\displaystyle \phi ersichtlich. Sei X{\displaystyle X} und Y{\displaystyle Y} Topologieräume. fk:X?Y{\displaystyle f_{k}\colon X\to Y} ist eine kontinuierliche Produktion.

Der Funktionsablauf (fk)k?N{\displaystyle (f_{k})_{k\in N}}} nähert sich punktuell gegen eine Funktionalität f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y}. Inwieweit in dieser Konstellation bereits auf die Kontinuität von f{\displaystyle f} zurückgegriffen werden kann, ist fraglich. Das folgende Beispiel verdeutlicht, dass dies im Allgemeinen nicht zutrifft: Diese Folge von kontinuierlichen Funktionalitäten wird punktuell zu einer diskontinuierlichen Position zusammengefasst.

Allerdings gibt es einige zusätzliche Bedingungen, die die Kontinuität der Grenzwertfunktion in der dargestellten Sachlage gewährleisten. Es besteht die Moeglichkeit, einen schaerferen Konvergenzterm fuer Funktionssequenzen zu verwenden, der dann die Kontinuitaet der Randfunktion ermoeglicht. Dabei wird jedoch vorausgesetzt, dass Y{\displaystyle Y} ein Metrikraum (oder zumindest ein einheitlicher Raum) ist. Durch dieses Konvergenzkonzept von Funktionssequenzen kann auch die oben genannte Kontinuität komplexer durch Leistungsreihen definierter Funktionalitäten innerhalb ihres Konvergenzrahmens nachgewiesen werden (siehe auch Abels Grenzwertsatz).

Das Set des Banach Steinhauses gewährleistet die Kontinuität der Begrenzungsfunktion bei X{\displaystyle X} und Y{\displaystyle Y}. und Y im Display-Stil Y einen topologischen Teil. Es wird eine Funktionalität f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y} links stehend in ?X_displaystyle \xi \xi \in X} aufgerufen, wenn die Beschränkung von f{\displaystyle f} auf ]-??X,?]?X{\displaystyle ]-\infty \xi ]\cap X} stehend in ?{\displaystyle \xi } ist.

Nachfolgend zwei gleichwertige Zustände, die auch zur Bestimmung der linken Kontinuität verwendet werden können: In der letztgenannten Situation muss jedoch berücksichtigt werden, dass die gewohnte Struktur auf Y{\displaystyle Y} noch berücksichtigt werden muss, auch wenn Y{\displaystyle Y} auch eine Subgruppe von R{\displaystyle \mathbb {R} ist. Das Konzept der rechten Kontinuität (z.B. durch strikt monoton abfallende Folgen) wird entsprechend festgelegt.

Der Fortbestand von f{\displaystyle f} in ?{\displaystyle \xi } entspricht dann der Tatsache, dass die Funktionalität sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite in ?{\displaystyle \xi } konstant ist. Der Heaviside ist kontinuierlich in 0 Rechtshänder, aber nicht link. Im Gegensatz dazu ist die Zeichenfunktion in 0 weder linker noch rechterhand kontinuierlich. Indem man die Kontinuität in linke und rechte Kontinuität unterteilt, hat man die Fähigkeit einer kontinuierlichen Funktionalität, "keine Sprünge" zu machen, unterteilt in die Merkmale, um keine Sprünge zu machen, wenn man sich dem Gesichtspunkt von links oder rechts annähert.

Eine ähnliche Vorgehensweise kann auch für eine Funktion mit Zielsetzung angewendet werden. Es ist möglich, R{\display style \mathbb {R} zu verwenden. ein beliebiger topologischer Bereich als Definitionsbereich). Daraus ergeben sich zwei Konzepte der Semi-Kontinuität, deren Zusammenführung wiederum der traditionellen Kontinuität realwertiger Funktionalitäten entspricht. Die halbe Kontinuität kann auch auf das Kontinuitätskonzept der Thematik zurückgeführt werden, indem auf der Zielvorgabe entsprechende Themenbereiche eingesetzt werden.

In der Ordnungstheorie kann Kontinuität definiert werden als die Kompatibilität einer funktionellen Einheit mit dem Überbegriff der vollständigen Halbstufen A,B{\displaystyle A,B}. Ein Funktionsumfang f:A?B{\displaystyle f\colon A\rightarrow B} bedeutet konstant if f (?X)=?f(X){\displaystyle f(\bigsqcup X)=\bigsqcup f(X)} trifft auf alle gelenkten Subsets zu X?A{\displaystyle X\subseqteq A}. Die Kontinuität einer funktionalen Einheit führt in diesem Kontext zu ihrer Einförmigkeit. Andererseits ordnet jede Monotoniefunktion einen gezielten Setback auf einen solchen Set zu, so dass die Existenzberechtigung der Bildüberlegenheit von Anfang an sicher ist und nicht mehr aufgezeigt werden muss.

Bei vielen Autorinnen und Autoren ist die Eintönigkeit eine Grundvoraussetzung für die Bestimmung von Kontinuität. Es gibt für die Funktion zwischen den Metrikräumen eine Serie von weiteren Konzepten der Kontinuität, die jeweils striktere Voraussetzungen dafür schaffen, wie stark der funktionale Wert im Verhältnis zur Fluktuation des Arguments fluktuieren kann. Zu erwähnen sind: einheitliche Konsistenz (kann auch für Funktionalitäten auf einheitlichen Flächen festgelegt werden), (lokale) Lipschitz-Konsistenz, Hölder-Konsistenz sowie (wenn der Definitionsumfang ein reales Zeitintervall ist) Absolut-Konsistenz.

Heine's Sätze besagen, dass eine stabile Funktionalität von einem kleinen Hausdorff-Zimmer in jeden einheitlichen Zimmer immer gleichbleibend ist. Eine reale oder vielschichtige Funktionalität ist, wie bereits erwähnt, an jeder Position konstant, an der sie unterschieden werden kann. Die reale und die Komplexbetragsfunktion sind konstant.

Der reale Betrag kann mit Ausnahme der Position 0 an jeder beliebigen Position unterschieden werden, während der komplexen Betrag überhaupt nicht unterschieden werden kann. Längst war offen, ob es auch konstante reale Funktionalitäten gab, die nirgendwo unterschieden werden konnten. Die ersten Beispiele für eine wirklich kontinuierliche, aber nirgendwo unterscheidbare Funktionalität wurden von Bernard Bozen (Bozner Funktion) konstruier.

Das Bestehen solcher mathematischer Funktionalitäten wurde durch Karl Weierstraß (Weierstraß-Funktion) bekannt, der so viele heutige Mathematikern überrascht. Mithilfe von Baire's Theorem wurde später aufgezeigt, dass der Satz von ununterscheidbaren Funktionalitäten in C([0,1]){\displaystyle C([0,1])} noch dichter ist. Lässt sich eine funktionale Unterscheidung zu einem beliebigen Zeitpunkt treffen, ergibt sich die Fragestellung nach der Kontinuität ihrer Herleitungsfunktion.

Bei komplexen Funktionalitäten wird diese Fragestellung im wesentlichen durch die Realisierung der Tatsache geklärt, dass die Herleitung einer geöffneten Teilsammlung von C{\displaystyle \mathbb {C} differenzierbare Funktionalität selbst ist wieder unterscheidbar und damit auch konstant. Diese Anweisung bezieht sich nicht auf reale Funktionalitäten. Nachdem sich jedoch die Kontinuität der Herleitungsfunktion in vielen FÃ?llen als signifikant erwiesen hat, wurde das Konzept der kontinuierlichen Unterscheidbarkeit vorgestellt.

Die Fläche der k mal kontinuierlich unterscheidbaren Einzelfunktionen auf einem realen Abstand X{\displaystyle X} wird auch Ck(X){\displaystyle C^{k}(X)} genannt. Bei den Funktionalitäten handelt es sich um Gegenstände der Mengenlehre. Diese sind die folgenden. Du hast einen Definitionsraum und eine Sollmenge. Dabei ist die Auswahl dieser Themen nicht Teil der "Identität" der Funktionalität, sondern essentiell für die Durchgängigkeit. Daher ist es tatsächlich ungenau zu sagen, dass eine Funktionalität kontinuierlich oder diskontinuierlich ist.

Seien Sie f:X?Y{\displaystyle f\colon X\to Y} eine Funktionalität und www.com{\displaystyle \xi \xi \in X}. In diesem Fall ist f{\displaystyle f} immer in ?{\displaystyle \xi in Bezug auf die Zimmer (X,T1){\displaystyle (X,T_{1})} und (Y,T2){\displaystyle (Y,T_{2})}, wenn für jeden (Y,T2){\displaystyle (Y, T_{2} )}Umgebung für unbekanntes Verhalten von f (?){\displaystyle f(\xi f (})} Das Originalbild f-1(U){\displaystyle f^{-1}(U)} ist eine (X,T1){\displaystyle (X,T_{1})} Umgebung von ?{\displaystyle \xi ist.