Stochastik

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Der Begriff Stochastik ist ein Sammelbegriff für die Bereiche Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Der Begriff Stochastik kommt aus dem Griechischen und bedeutet "Kunst des Raten" oder "Ratekunst". Auf dieser Seite finden Sie eine Übersicht über alle stochastischen Themen, die Sie für Ihre Abiturvorbereitung benötigen. Die Stochastik als Zweig der Mathematik ist die Untersuchung von Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

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Stochastik (aus dem Altgriechischen ?????????? ????? ?????????? wwww.comb. com) ist eine Subdomäne der Moral und kombiniert die Felder der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der mathematischen Statistiken zu einem Unterbegriff. Stochastik sind Vorgänge oder Resultate, die nur gelegentlich bei wiederholter Ausführung desselben Prozesses auftreten und deren Auftreten im konkreten Fall nicht vorhersehbar ist.

In der mathematischen Stochastik geht es um die Darstellung und Erforschung von zufälligen Experimenten wie dem Einwurf von Pins, WÃ?rfeln oder MÃ?nzen sowie um zeitliche VerlÃ?ufe und durch das Zufallsprinzip beeinflusste Raumstrukturen. Die Stochastik umfasst somit eine Reihe von Verfahren, mit denen sowohl die Gewinnwahrscheinlichkeit im Lotto als auch die Höhe der Ungewissheit in Umfragen ermittelt werden können.

Auch für die Finanzmathematik ist die Stochastik wichtig und ihre Methoden helfen z.B. bei der Preisgestaltung. Es handelt sich nicht um eine Unit, sondern um eine Zahl zwischen Null und Eins, bei der auch Null und Eins erlaubt sind. Daher können sie als Prozentsätze (20 %), Dezimalstellen (0,2{\displaystyle 0{,}2}), Bruchzahlen (210{\displaystyle {\tfrac {2}{10}}), Gewinnchancen (2 von 10 oder 1 von 5) oder Verhältnisse (1 bis 4) ausgegeben werden (alle geben die gleiche Wahrscheinlichkeit).

Oftmals kommt es zu Missverständnissen, wenn es keine korrekte Unterscheidung zwischen "zu" und "von" gibt: "1 bis 4" bedeuten, dass das eine gewünschte Event durch 4 unerwünschte Events repräsentiert wird. Wird ein Zufallsversuch mehrfach nacheinander durchgeführt, kann die Relativfrequenz eines Events berechnet werden, indem man die Absolutfrequenz, d.h. die Zahl der erfolgreichen Experimente, durch die Zahl der durchgeführten Experimente teilt.

Bei einer unendlichen Zahl von Experimenten ändert sich diese Relativfrequenz in wahrscheinliche Werte. Die Zahl der Experimente, die erforderlich sind, um eine akzeptable Übereinkunft zwischen der relativen Frequenz und der Eintrittswahrscheinlichkeit zu erreichen, wird in der Realität oft unterbewertet. Die Tatsache, dass einem Event die Eintrittswahrscheinlichkeit Null zugewiesen wird, bedeutet, dass sein Auftreten grundsätzlich nur dann ausgeschlossen ist, wenn es endlich viele unterschiedliche experimentelle Ausgänge gibt.

Da es dann unbegrenzt viele Ziffern im Abstand gibt, ist die Wahrscheinlichkeit des Auftretens für jede Einzelzahl aus dem Abstand Null, aber trotzdem ist jede Ziffer aus[0,1]{\displaystyle[0,1]} als Zeichenergebnis möglich. Eine unmögliche Veranstaltung im Kontext dieses Beispieles ist die Zeichnung der 2, der elementaren Veranstaltung {2}{\displaystyle \{2\}}.

Als " ungefährlich " wird ein Event bezeichnet, wenn es eine Eintrittswahrscheinlichkeit von 1 hat. Möglicherweise tritt ein nicht mögliches Event nicht ein, ist 1 und es ist ein ungefährliches Event. Als Beispiel für ein Sicherheitsrisiko beim Wurf eines sechseitigen Würfels dient das Event "no seven is roll". Grundlegende Vermutungen der Stochastik sind in den Axiomen von Kolmogorov nach Andrei Kolmogorov wiedergegeben.

Möglicherweise ist die Eintrittswahrscheinlichkeit des Events, das alle denkbaren Testergebnisse beinhaltet, 1{\displaystyle 1}: Möglicherweise ist die Eintrittswahrscheinlichkeit für ein unmögliches Ereignis 0{\displaystyle 0}: Sämtliche Wahrscheinlichkeitswerte sind zwischen Null und Eins: Die Eintrittswahrscheinlichkeit eines Events und sein Nichteintreten ergeben eins: In einem kompletten Ereignissystem Ai{\displaystyle A_{i}} (dafür müssen alle Ai{\displaystyle A_{i}}} zweiseitig unzusammenhängend sein und ihre Vereinigung muss gleich ?{\displaystyle \Omega Mega } sein) ist die Summierungswahrscheinlichkeiten gleich 1{\displaystyle 1}:

Einfaches Beispiel für Experimente mit Laplace sind Würfel, das Einwerfen einer Coin (außer, dass sie auf dem Rande verbleiben kann) und das Zeichnen von Lotteriezahlen.

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