Vektorrechnung

Vector Calculus

Wenn Sie noch nicht mit der Vektorrechnung vertraut sind, ist es ratsam, sehr schnell die entsprechenden Mathematik- oder Physikbücher zu konsultieren. Vektorberechnung im Überblick An dieser Stelle wollen wir Ihnen verdeutlichen, wie Sie mit Vektorgrafiken rechnen können. Sie erfahren, worum es bei der Vektorrechnung geht und wie Sie das so genannten skalaren Produkt hinzufügen, subtrahieren oder sogar bilden können. Nachfolgend finden Sie die Inhalte der Vektorberechnung. Sie können auf eines der beiden Bereiche klicken, um weitere Infos zu bekommen.

Allen, die sich noch nicht mit dem Themenbereich angefreundet haben, liegen geeignete Grundkenntnisse vor. Die Topics der Vektorrechnung: Links:

Vektorberechnung - Berechnen mit Vektorgrafiken

VectorWas ist ein Vector? VektorzeichnungWie kann man Vektorgrafiken in ein Koordinaten-System einfügen? Menge eines VektorsWie kann man die Größe eines Vektors errechnen? VektorzusatzWie kann man Vektorgrafiken hinzufügen? VektorabzugWie kann man Vektorabzüge vornehmen? Skalarmultiplikation Wie kann man einen Vector mit einer Nummer multiplizieren? SkalarproduktWie kann man das skalare Produkt berechnen? - Wenn sind zwei Vektorarten lineare Abhängigkeit?

  • Es gibt 3 VektorenWann sind drei Vektorarten linienabhängig? Wie kann mit der Bestimmungsgröße bestimmt werden, ob Vektorvektoren linienförmig voneinander getrennt sind? Entfernung zwischen zwei PunktenWie kann man die Entfernung zwischen zwei Polen berechnen? Winkeleffekt zwischen zwei VektorenWie kann man den Winkeleffekt zwischen zwei Vektorgrafiken berechnen?

Vektorkalkül

Die Definition dessen, was ein Vector außerhalb der "reinen" mathematischen Grundlagen ist, ist nicht so leicht. Zu unseren Zwecken ist ein Vector ein physisches Ziel, d.h. eine reale vorhandene Grösse wie Velocity, Electric Field Stärke oder eine Grösse, die immer durch einen Wert und eine Ausrichtung definiert sein muss.

So kann ein Vector durch einen Pfeiler dargestellt werden, dessen Größe der Größe und dessen Ausrichtung durch die Pfeiltaste unmissverständlich vorgegeben ist. Bei einem zufällig ausgewählten Koordinationssystem (zur Vereinfachung mit Nullpunkt am Ende des Pfeils) kann dann jeder Vector durch seine drei Bestandteile (die Vorsprünge auf die Achsen) unmissverständlich charakterisiert werden.

Zwei Vektorgrafiken sind gleich, wenn sie in Größe und Ausrichtung aufeinander abgestimmt sind. Weil eine parallele Raumverschiebung den "Pfeil" nicht verändert, sind zwei Vektorformen immer noch die gleichen, auch wenn sie irgendwo im Koordinaten-System gefunden werden. Dies hat eine unmittelbare Folge: Physische Grössen, die durch Pfeile darstellbar sind, bei denen eine Pfeilverschiebung zu einer anderen Konstellation führt, sind dann keine Vektorformen im eigentlichen Sinne!

Die auf einen Massepunkt P wirkende Energie B ist ein Vector - denn es ist unerheblich, wo im Weltraum sie auf P einwirkt. Ein auf einen Schwenkarm einwirkender Druck A ist kein vektorieller Schweregrad, denn was passiert, hängt vom Moment ab = Druck mal Arm; eine Verlagerung von A führt zu einer neuen Sachlage.

Vectoren werden durch Hinzufügen ihrer Bestandteile hinzugefügt (in kartesischen KO-Systemen) (die Vectoren starten immer am 0-Punkt des KO-Systems, wir können sie frei bewegen). Angewandt auf physische Grössen schränkt diese Bestimmung ihrerseits die Vielzahl der verfügbaren Vektorformen ein. Das Additionsverfahren besagt in Worten: Wenn man von einem bestimmten physikalischen Aggregatzustand in einen anderen übergeht, indem man zuerst den Vector r1 und dann den VIktor r2 durchläuft, ist der erzielte Wert gleich demjenigen, der beim Durchlaufen des Ausgangszustandes den Vector r3 = r1 + re2 durchläuft.

Dies lässt sich am besten dadurch nachvollziehen, dass man sich ansieht, für welche "Pfeile" dies zutrifft und für welche nicht. Das trifft natürlich auf Positionsvektoren zu, aber auch auf Geschwindigkeit, Beschleunigung oder Feldstärke zum Beispiel. Nicht zutreffend ist sie jedoch für die Pfeile, die Rotationen darstellen, indem sie den "Drehpfeil" in der Rotationsachse platzieren und seine Größe in Proportion zum Rotationswinkel setzen.

3Die Sektoren sind gegenüber einer Koordinatenumwandlung inaktiv. Sobald der Pfeile einmal bestimmt ist, bleibt er immer gleich, unabhängig davon, wie wir das KO-System einrichten. Dies trifft jedoch nur auf den Pfeiltitel "per se" - den Vector - zu, nicht auf die numerischen Werte seiner Bestandteile. Hiermit werden die Umwandlungseigenschaften der Bestandteile eines Vektorgrafikers bestimmt.

Besitzt der vektorielle Teil im x-y-z Kanalsystem die Bestandteile (x1, y1, z1), müssen die numerischen Werte (x'1, y'1, y'1, z' 1) in jedem neuen Teilsystem x'-y'-z' eindeutig und definiert aus der Transformationsregel (= Transformationsmatrix) berechnet werden, die das neue Sys tem erzeugt. Wichtig: Die Feststellung, dass ein Vector bei einem Koordinatenwechsel unveränderlich ist, trifft auch auf einen Wandel von kartesischen zu nicht-kartesischen Modellen zu, z.B. beim Wandel von x-y-z-Koordinaten zu Polarkoordinaten und nicht immer auf die Rechenregeln zu.

Es werden keine zwei Vektorformen in Polarkoordinaten durch Hinzufügen ihrer Bestandteile hinzugefügt - probieren Sie es aus! Daraus ergibt sich der essentielle Nutzen: Vektordaten sind vom Koordinationssystem abhängig - und damit kann das Überleben deutlich vereinfacht werden! Die F = n - a ist in jedem Körper gültig: kartesisch, polare, schiefe - das spielt keine Rolle.

Das kann mit Vektorgrafiken auf zwei sinnvollen Wegen geschehen: skalares Produkt und Vectorprodukt. Bei kartesischen KO-Systemen wird das skalare Produkt durch Summierung der Ergebnisse ähnlicher Bauteile erhalten, d.h. die Komplexität der Vektorberechnung ist bis zu einem gewissen Grad erkennbar: Das skalare Produkt aus zwei rechtwinklig zueinander stehenden Vektorstäben ist immer = 0 - unabhängig davon, welchen Zahlenwert die Bauteile in jedem beliebigen Koordinatensystem haben.

Weil |A| - cos(A,B) gleich der Projektierung des Elektrizitätsvektors A auf die Ausrichtung von Breitengrad ist (und umgekehrt), ist das Skalenprodukt gleich der Größe des einen Elektrizitätsträgers mal der projizierten Größe des anderen. Der Skalar hat eine hervorragende Eigenschaft: Im Gegensatz zu "normalen" Erzeugnissen - also dem Erzeugnis aus zwei Skalaren - kann er = 0 sein, auch wenn beide "Faktoren" nicht gleich Null sind.

Die Vektorprodukte verbinden zwei Vektorformen zu einem neuen Vector. Die Vektorprodukte V der beiden Vektorvektoren A1 und A2 sind wie folgend definiert: 1 V steht rechtwinklig zu der von A1 und A2 überspannten Fläche. Die Vektorprodukte V der beiden Vektorvektoren A2 und B2 sind wie folgend definiert: 1 V steht rechtwinklig zu der von A2 und A2 überspannten Fläche. V wird durch eine "rechte Handregel" vorgegeben. Er wird nach innen verdreht, so dass die Handinnenfläche auf die Position der Hand nach unten weis.

Mit anderen Worten: In der Blickrichtung V muss die Rechtsdrehung von E nach E den kleinsten möglichen Drehwinkel abdecken, d.h. das Vektorenprodukt ist nicht mehr kommutierend. Die Vektorprodukte haben einige wesentliche unmittelbar interpretierbare Eigenschaften: Steht der Wert für den Wert A3 x B2 = 0, müssen die beiden Vektorlinien zueinander parallelgeschaltet sein.

Die von den Vektorgrafiken A und B überspannte Parallelogrammfläche muss gleich der Menge von A × B sein.

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